Номер 6, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 6, страница 354.

6 Какие две фигуры называются гомотетичными (центрально-подобными)?

Две фигуры $F$ и $F'$ называются гомотетичными (или центрально-подобными), если существует такое преобразование, называемое гомотетией (или центральным подобием), которое переводит одну фигуру в другую.

Гомотетия — это преобразование плоскости (или пространства), которое задается двумя параметрами: точкой $O$, называемой центром гомотетии, и действительным числом $k \neq 0$, называемым коэффициентом гомотетии.

При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ каждая точка $M$ преобразуется в точку $M'$ таким образом, что выполняется векторное равенство:

$\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$

Из этого равенства следует, что точка-образ $M'$ всегда лежит на прямой $OM$, проходящей через центр гомотетии $O$ и точку-прообраз $M$.

• Если коэффициент $k > 0$ (прямая гомотетия), то точки $M$ и $M'$ лежат по одну сторону от центра $O$ на луче $OM$.
• Если коэффициент $k < 0$ (обратная гомотетия), то точки $M$ и $M'$ лежат по разные стороны от центра $O$.

Расстояние от центра до образа $M'$ связано с расстоянием до прообраза $M$ формулой $OM' = |k| \cdot OM$. Таким образом, гомотетия представляет собой "растяжение" или "сжатие" фигуры относительно центра $O$.

Важным свойством является то, что гомотетичные фигуры всегда подобны, а коэффициент их подобия равен модулю коэффициента гомотетии, то есть $|k|$.

Ответ: Две фигуры называются гомотетичными (центрально-подобными), если одна фигура может быть получена из другой преобразованием гомотетии. Это преобразование задается центром $O$ и коэффициентом $k \neq 0$ так, что каждая точка $M$ первой фигуры переходит в точку $M'$ второй фигуры, для которой верно векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.