Номер 11, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 11, страница 354.

11 Можно ли утверждать, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол?

Да, можно утверждать, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол. Гомотетия является преобразованием подобия, а одним из ключевых свойств любого преобразования подобия является сохранение величин углов.

Рассмотрим это утверждение более подробно.

Пусть дан угол $\angle BAC$ с вершиной в точке $A$ и сторонами, являющимися лучами $AB$ и $AC$. Выполним гомотетию с центром в некоторой точке $O$ и коэффициентом $k$ ($k \neq 0$). В результате этой гомотетии точки $A, B, C$ перейдут в точки $A', B', C'$ соответственно. Таким образом, угол $\angle BAC$ преобразуется в угол $\angle B'A'C'$.

Одно из основных свойств гомотетии заключается в том, что она переводит любую прямую в параллельную ей прямую. Следовательно, прямая, содержащая луч $A'B'$, будет параллельна прямой, содержащей луч $AB$. Аналогично, прямая $A'C'$ будет параллельна прямой $AC$.

Таким образом, мы имеем два угла, $\angle BAC$ и $\angle B'A'C'$, у которых соответствующие стороны параллельны: $AB \parallel A'B'$ и $AC \parallel A'C'$.

Теперь рассмотрим направление сторон (лучей) этих углов, которое зависит от знака коэффициента гомотетии $k$:

• Если коэффициент $k > 0$, то векторы-стороны и их образы сонаправлены: $\vec{A'B'}$ сонаправлен $\vec{AB}$, и $\vec{A'C'}$ сонаправлен $\vec{AC}$. Углы, образованные сонаправленными лучами, равны. Следовательно, $\angle B'A'C' = \angle BAC$.
• Если коэффициент $k < 0$, то векторы-стороны и их образы противоположно направлены: $\vec{A'B'}$ противоположно направлен $\vec{AB}$, и $\vec{A'C'}$ противоположно направлен $\vec{AC}$. Углы, образованные соответственно противоположно направленными лучами, также равны. Следовательно, $\angle B'A'C' = \angle BAC$.

Таким образом, в обоих случаях величина угла при гомотетии сохраняется.

Ответ: Да, можно утверждать, что при гомотетии угол переходит в равный ему угол.