Номер 12, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 12, страница 354.

12 Сформулируйте и докажите теорему о гомотетии многоугольников.

Формулировка теоремы

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ ($k \neq 0$) переводит любой многоугольник в многоугольник, подобный данному. Коэффициент подобия равен $|k|$, а соответствующие стороны исходного и полученного многоугольников параллельны.

Доказательство

Пусть дан n-угольник $P = A_1A_2...A_n$ и гомотетия $H$ с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$. При этой гомотетии вершины $A_1, A_2, ..., A_n$ переходят в точки $A'_1, A'_2, ..., A'_n$ соответственно. Образом многоугольника $P$ является многоугольник $P' = A'_1A'_2...A'_n$. Нам нужно доказать, что многоугольник $P'$ подобен многоугольнику $P$ с коэффициентом подобия $|k|$.

По определению гомотетии, для любой вершины $A_i$ (где $i = 1, ..., n$) выполняется векторное равенство: $\vec{OA'_i} = k \cdot \vec{OA_i}$.

Рассмотрим произвольную сторону $A_iA_{i+1}$ исходного многоугольника (где $A_{n+1}$ совпадает с $A_1$) и соответствующую ей сторону $A'_iA'_{i+1}$ полученного многоугольника. Выразим вектор стороны $A'_iA'_{i+1}$ через вектор стороны $A_iA_{i+1}$, используя правило разности векторов:

$\vec{A'_iA'_{i+1}} = \vec{OA'_{i+1}} - \vec{OA'_i} = k \cdot \vec{OA_{i+1}} - k \cdot \vec{OA_i} = k \cdot (\vec{OA_{i+1}} - \vec{OA_i}) = k \cdot \vec{A_iA_{i+1}}$

Из полученного векторного равенства $\vec{A'_iA'_{i+1}} = k \cdot \vec{A_iA_{i+1}}$ мы можем сделать два ключевых вывода.

Во-первых, так как вектор $\vec{A'_iA'_{i+1}}$ получается умножением вектора $\vec{A_iA_{i+1}}$ на число $k$, эти векторы коллинеарны. Это означает, что прямые, содержащие стороны $A'_iA'_{i+1}$ и $A_iA_{i+1}$, параллельны: $A'_iA'_{i+1} \parallel A_iA_{i+1}$. Это справедливо для всех пар соответствующих сторон.

Во-вторых, найдем отношение длин этих сторон. Длина отрезка - это модуль соответствующего вектора, поэтому:

$|A'_iA'_{i+1}| = |\vec{A'_iA'_{i+1}}| = |k \cdot \vec{A_iA_{i+1}}| = |k| \cdot |\vec{A_iA_{i+1}}| = |k| \cdot |A_iA_{i+1}|$

Отсюда следует, что отношение длин соответствующих сторон постоянно и равно $|k|$:

$\frac{|A'_iA'_{i+1}|}{|A_iA_{i+1}|} = |k|$

Это доказывает, что все соответствующие стороны двух многоугольников пропорциональны с коэффициентом пропорциональности $|k|$.

Теперь докажем равенство соответствующих углов. Рассмотрим угол при вершине $A_i$, то есть $\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$ (где $A_0$ совпадает с $A_n$), и соответствующий ему угол $\angle A'_{i-1}A'_iA'_{i+1}$. Мы уже установили, что стороны этих углов попарно параллельны: $A'_{i-1}A'_i \parallel A_{i-1}A_i$ и $A'_iA'_{i+1} \parallel A_iA_{i+1}$.

Направление сторон, образующих угол, важно. Векторы, образующие угол при вершине $A'_i$, выражаются через векторы, образующие угол при вершине $A_i$:

$\vec{A'_iA'_{i-1}} = k \cdot \vec{A_iA_{i-1}}$

$\vec{A'_iA'_{i+1}} = k \cdot \vec{A_iA_{i+1}}$

Если $k > 0$, то соответствующие векторы сонаправлены ($\vec{A'_iA'_{i-1}} \uparrow\uparrow \vec{A_iA_{i-1}}$ и $\vec{A'_iA'_{i+1}} \uparrow\uparrow \vec{A_iA_{i+1}}$). В этом случае стороны углов не только параллельны, но и одинаково направлены, поэтому сами углы равны: $\angle A'_{i-1}A'_iA'_{i+1} = \angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$.

Если $k < 0$, то соответствующие векторы противоположно направлены ($\vec{A'_iA'_{i-1}} \uparrow\downarrow \vec{A_iA_{i-1}}$ и $\vec{A'_iA'_{i+1}} \uparrow\downarrow \vec{A_iA_{i+1}}$). Это означает, что обе стороны угла $\angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$ как бы поворачиваются на $180^\circ$. Такой поворот сохраняет величину угла между ними. Следовательно, и в этом случае углы равны: $\angle A'_{i-1}A'_iA'_{i+1} = \angle A_{i-1}A_iA_{i+1}$.

Таким образом, мы доказали, что у многоугольников $P$ и $P'$ соответствующие углы равны, а отношения длин соответствующих сторон равны одному и тому же числу $|k|$. По определению подобия фигур, многоугольник $A'_1A'_2...A'_n$ подобен многоугольнику $A_1A_2...A_n$ с коэффициентом подобия $|k|$. Теорема доказана.

Ответ: Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k \neq 0$ переводит любой многоугольник в подобный ему многоугольник. Коэффициент подобия равен модулю коэффициента гомотетии $|k|$.