Номер 19, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 19, страница 354.
№19 (с. 354)
Условие. №19 (с. 354)
скриншот условия

19 Сформулируйте и докажите теорему о произведении отрезков секущих.
Решение 1. №19 (с. 354)

Решение 10. №19 (с. 354)

Решение 11. №19 (с. 354)
Формулировка
Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение длины одной секущей на её внешнюю часть равно произведению длины другой секущей на её внешнюю часть.
Ответ: Теорема утверждает, что если из точки P вне окружности проведены две секущие, пересекающие окружность в точках A, B и C, D, то справедливо равенство $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.
Доказательство
Пусть из точки P, расположенной вне окружности, проведены две секущие. Первая секущая пересекает окружность в точках A и B (причем точка A находится между P и B). Вторая секущая пересекает окружность в точках C и D (причем точка C находится между P и D). Необходимо доказать, что $PA \cdot PB = PC \cdot PD$.
Для доказательства соединим отрезками точки A с D и B с C. Рассмотрим треугольники $ \triangle PAD $ и $ \triangle PCB $.
Угол при вершине P ($ \angle APD $) является общим для обоих треугольников. Углы $ \angle PBC $ и $ \angle ADC $ являются вписанными и опираются на одну и ту же дугу AC. По свойству вписанных углов, эти углы равны: $ \angle PBC = \angle ADC $.
Поскольку два угла треугольника $ \triangle PAD $ ($ \angle P $ и $ \angle PDA $) соответственно равны двум углам треугольника $ \triangle PCB $ ($ \angle P $ и $ \angle PBC $), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Из подобия треугольников $ \triangle PAD \sim \triangle PCB $ следует пропорциональность их соответственных сторон. Соответственными являются стороны, лежащие напротив равных углов. Запишем пропорцию для пар соответственных сторон: $ \frac{PA}{PC} = \frac{PD}{PB} $. Здесь PA и PC — стороны, лежащие напротив равных углов $ \angle PDA $ и $ \angle PBC $, а PD и PB — стороны, лежащие напротив равных углов $ \angle PAD $ и $ \angle PCB $.
Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем требуемое равенство: $ PA \cdot PB = PC \cdot PD $. Теорема доказана.
Ответ: Равенство $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ доказано на основе подобия треугольников $ \triangle PAD $ и $ \triangle PCB $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 19 расположенного на странице 354 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №19 (с. 354), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.