Номер 1342, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1342, страница 354.

1342 При данном движении каждая из двух точек A и B отображается на себя. Докажите, что любая точка прямой AB отображается на себя.

Пусть `f` — данное движение (изометрия). По условию, у нас есть две различные точки A и B, которые являются неподвижными для этого движения, то есть $f(A) = A$ и $f(B) = B$.

Нам нужно доказать, что любая точка C, лежащая на прямой AB, также является неподвижной, то есть $f(C) = C$.

Введем на прямой AB систему координат. Пусть точка A соответствует координате 0, а точка B — координате $d$, где $d$ — это длина отрезка AB ($d > 0$, так как точки A и B различны).

Пусть C — произвольная точка на прямой AB с координатой $x$. Пусть ее образ при движении $f$, точка $C' = f(C)$, имеет координату $x'$. Наша задача — доказать, что $x' = x$.

Движение (изометрия) — это преобразование, сохраняющее расстояние между точками. Применим это свойство к парам точек (A, C) и (B, C).

1. Расстояние между A и C должно быть равно расстоянию между их образами $f(A)$ и $f(C)$.

Расстояние AC равно $|x - 0| = |x|$.

Расстояние $f(A)f(C)$ равно $|x' - 0| = |x'|$, так как $f(A)$ имеет координату 0, а $f(C)$ — координату $x'$.

Следовательно, мы получаем первое уравнение: $$|x| = |x'|$$ Из этого уравнения следует, что либо $x' = x$, либо $x' = -x$.

2. Расстояние между B и C должно быть равно расстоянию между их образами $f(B)$ и $f(C)$.

Расстояние BC равно $|x - d|$.

Расстояние $f(B)f(C)$ равно $|x' - d|$, так как $f(B)$ имеет координату $d$, а $f(C)$ — координату $x'$.

Следовательно, мы получаем второе уравнение: $$|x - d| = |x' - d|$$

Теперь рассмотрим два возможных случая, вытекающих из первого уравнения.

Случай 1: $x' = x$.

Подставим это значение во второе уравнение: $|x - d| = |x - d|$. Это тождество, верное для любой координаты $x$. Таким образом, $x' = x$ является решением системы уравнений. Это означает, что точка C может отображаться на себя.

Случай 2: $x' = -x$.

Подставим это значение во второе уравнение: $$|x - d| = |-x - d|$$ $$|x - d| = |-(x + d)|$$ $$|x - d| = |x + d|$$ Чтобы это равенство выполнялось, квадраты модулей также должны быть равны: $$(x - d)^2 = (x + d)^2$$ $$x^2 - 2xd + d^2 = x^2 + 2xd + d^2$$ $$-2xd = 2xd$$ $$4xd = 0$$ Поскольку точки A и B различны, расстояние между ними $d \ne 0$. Следовательно, для выполнения равенства необходимо, чтобы $x = 0$.

Это означает, что случай $x' = -x$ возможен только для точки с координатой $x=0$. Но точка с координатой 0 — это точка A. Для точки A мы имеем $x=0$, и тогда $x' = -0 = 0$, то есть $x' = x$. Таким образом, даже в этом исключительном случае точка A отображается сама на себя, что соответствует условию. Для любой другой точки C на прямой AB (т.е. при $x \ne 0$) случай $x' = -x$ невозможен.

Следовательно, для любой точки C на прямой AB единственно возможным является случай $x' = x$. Это означает, что любая точка прямой AB отображается на себя, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Любая точка прямой AB при данном движении отображается на себя.