Номер 21, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 21, страница 354.
№21 (с. 354)
Условие. №21 (с. 354)
скриншот условия

21 Объясните, как построить окружность, которая проходит через данную внутреннюю точку угла и касается сторон этого угла.
Решение 1. №21 (с. 354)

Решение 10. №21 (с. 354)


Решение 11. №21 (с. 354)
Данная задача на построение решается с помощью метода гомотетии (преобразования подобия с центром). Основная идея заключается в том, чтобы сначала построить любую удобную окружность, которая уже обладает одним из требуемых свойств (касается сторон угла), а затем преобразовать ее так, чтобы она удовлетворяла и второму свойству (проходила через данную точку).
Анализ задачи
Пусть дан угол с вершиной в точке $A$ и стороны $l_1$ и $l_2$. Пусть $P$ — данная точка внутри угла. Искомая окружность должна касаться сторон $l_1$ и $l_2$, следовательно, ее центр $O$ должен быть равноудален от этих сторон. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектриса. Значит, центр искомой окружности $O$ должен лежать на биссектрисе данного угла.
Рассмотрим семейство всех окружностей, касающихся сторон $l_1$ и $l_2$. Центры всех этих окружностей лежат на биссектрисе угла. Любые две такие окружности гомотетичны друг другу с центром гомотетии в вершине угла $A$. Это ключевое свойство, которое мы и будем использовать для построения.
Алгоритм построения
- С помощью циркуля и линейки построить биссектрису $b$ данного угла с вершиной $A$. Центр искомой окружности будет лежать на этой прямой.
- Выбрать на биссектрисе $b$ произвольную точку $O'$ и построить вспомогательную окружность $\omega'$, которая касается сторон угла. Для этого нужно из точки $O'$ опустить перпендикуляр $O'T'$ на одну из сторон угла (например, на $l_1$). Затем построить окружность $\omega'$ с центром в $O'$ и радиусом $R' = O'T'$.
- Провести луч $AP$ из вершины угла через данную точку $P$. Этот луч, как правило, пересечет вспомогательную окружность $\omega'$ в двух точках. Назовем их $P_1'$ и $P_2'$. Каждая из этих точек пересечения позволит найти одно из возможных решений задачи. (Если луч $AP$ коснется окружности $\omega'$, решение будет одно).
- Для нахождения центра $O_1$ первой искомой окружности нужно провести через точку $P$ прямую, параллельную отрезку $O'P_1'$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $b$ и будет искомым центром $O_1$.
- Аналогично, для нахождения центра $O_2$ второй искомой окружности, следует провести через точку $P$ прямую, параллельную отрезку $O'P_2'$. Точка ее пересечения с биссектрисой $b$ даст центр $O_2$.
- Построить искомые окружности. Первая окружность имеет центр в точке $O_1$ и радиус $R_1 = O_1P$. Вторая окружность имеет центр в точке $O_2$ и радиус $R_2 = O_2P$.
Обоснование
Докажем корректность построения для окружности с центром $O_1$.По нашему построению, прямая $O_1P$ параллельна прямой $O'P_1'$. Рассмотрим треугольники $\triangle AO_1P$ и $\triangle AO'P_1'$.
- Угол $\angle PAO_1$ (или $\angle P_1'AO'$) является общим для обоих треугольников.
- Поскольку $O_1P \parallel O'P_1'$, то углы $\angle AO_1P$ и $\angle AO'P_1'$ равны как соответственные при параллельных прямых и секущей $AO'$.
Следовательно, треугольники $\triangle AO_1P$ и $\triangle AO'P_1'$ подобны по двум углам. Из подобия вытекает пропорциональность соответствующих сторон:
$$ \frac{AO_1}{AO'} = \frac{O_1P}{O'P_1'} $$
Теперь рассмотрим радиусы. Пусть $r_1$ — это радиус окружности с центром $O_1$, которая касается сторон угла. Для любой окружности, касающейся сторон угла, ее радиус пропорционален расстоянию от ее центра до вершины угла. Для наших двух окружностей (искомой и вспомогательной) это означает:
$$ \frac{r_1}{R'} = \frac{AO_1}{AO'} $$
где $R'$ — радиус вспомогательной окружности, $R' = O'P_1'$, так как точка $P_1'$ лежит на ней.
Сопоставляя два полученных равенства, имеем:
$$ \frac{O_1P}{O'P_1'} = \frac{r_1}{R'} $$
Подставив $R' = O'P_1'$, получаем $O_1P = r_1$.
Это равенство означает, что расстояние от центра $O_1$ до точки $P$ равно радиусу окружности с центром $O_1$, касающейся сторон угла. Следовательно, построенная окружность с центром $O_1$ и радиусом $O_1P$ действительно проходит через точку $P$ и касается сторон угла. Аналогичные рассуждения верны и для второй окружности с центром $O_2$.
Ответ: Алгоритм построения искомой окружности подробно описан выше. Он основан на построении биссектрисы угла, затем вспомогательной касающейся окружности и использовании гомотетии с центром в вершине угла для нахождения центров искомых окружностей. В общем случае задача имеет два решения.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 21 расположенного на странице 354 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №21 (с. 354), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.