Номер 21, страница 354 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Вопросы для повторения к главе 15. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 21, страница 354.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№21 (с. 354)
Условие. №21 (с. 354)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 354, номер 21, Условие

21 Объясните, как построить окружность, которая проходит через данную внутреннюю точку угла и касается сторон этого угла.

Решение 1. №21 (с. 354)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 354, номер 21, Решение 1
Решение 10. №21 (с. 354)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 354, номер 21, Решение 10 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 354, номер 21, Решение 10 (продолжение 2)
Решение 11. №21 (с. 354)

Данная задача на построение решается с помощью метода гомотетии (преобразования подобия с центром). Основная идея заключается в том, чтобы сначала построить любую удобную окружность, которая уже обладает одним из требуемых свойств (касается сторон угла), а затем преобразовать ее так, чтобы она удовлетворяла и второму свойству (проходила через данную точку).

Анализ задачи

Пусть дан угол с вершиной в точке $A$ и стороны $l_1$ и $l_2$. Пусть $P$ — данная точка внутри угла. Искомая окружность должна касаться сторон $l_1$ и $l_2$, следовательно, ее центр $O$ должен быть равноудален от этих сторон. Геометрическим местом точек, равноудаленных от сторон угла, является его биссектриса. Значит, центр искомой окружности $O$ должен лежать на биссектрисе данного угла.

Рассмотрим семейство всех окружностей, касающихся сторон $l_1$ и $l_2$. Центры всех этих окружностей лежат на биссектрисе угла. Любые две такие окружности гомотетичны друг другу с центром гомотетии в вершине угла $A$. Это ключевое свойство, которое мы и будем использовать для построения.

Алгоритм построения

  1. С помощью циркуля и линейки построить биссектрису $b$ данного угла с вершиной $A$. Центр искомой окружности будет лежать на этой прямой.
  2. Выбрать на биссектрисе $b$ произвольную точку $O'$ и построить вспомогательную окружность $\omega'$, которая касается сторон угла. Для этого нужно из точки $O'$ опустить перпендикуляр $O'T'$ на одну из сторон угла (например, на $l_1$). Затем построить окружность $\omega'$ с центром в $O'$ и радиусом $R' = O'T'$.
  3. Провести луч $AP$ из вершины угла через данную точку $P$. Этот луч, как правило, пересечет вспомогательную окружность $\omega'$ в двух точках. Назовем их $P_1'$ и $P_2'$. Каждая из этих точек пересечения позволит найти одно из возможных решений задачи. (Если луч $AP$ коснется окружности $\omega'$, решение будет одно).
  4. Для нахождения центра $O_1$ первой искомой окружности нужно провести через точку $P$ прямую, параллельную отрезку $O'P_1'$. Точка пересечения этой прямой с биссектрисой $b$ и будет искомым центром $O_1$.
  5. Аналогично, для нахождения центра $O_2$ второй искомой окружности, следует провести через точку $P$ прямую, параллельную отрезку $O'P_2'$. Точка ее пересечения с биссектрисой $b$ даст центр $O_2$.
  6. Построить искомые окружности. Первая окружность имеет центр в точке $O_1$ и радиус $R_1 = O_1P$. Вторая окружность имеет центр в точке $O_2$ и радиус $R_2 = O_2P$.

Обоснование

Докажем корректность построения для окружности с центром $O_1$.По нашему построению, прямая $O_1P$ параллельна прямой $O'P_1'$. Рассмотрим треугольники $\triangle AO_1P$ и $\triangle AO'P_1'$.

  • Угол $\angle PAO_1$ (или $\angle P_1'AO'$) является общим для обоих треугольников.
  • Поскольку $O_1P \parallel O'P_1'$, то углы $\angle AO_1P$ и $\angle AO'P_1'$ равны как соответственные при параллельных прямых и секущей $AO'$.

Следовательно, треугольники $\triangle AO_1P$ и $\triangle AO'P_1'$ подобны по двум углам. Из подобия вытекает пропорциональность соответствующих сторон:

$$ \frac{AO_1}{AO'} = \frac{O_1P}{O'P_1'} $$

Теперь рассмотрим радиусы. Пусть $r_1$ — это радиус окружности с центром $O_1$, которая касается сторон угла. Для любой окружности, касающейся сторон угла, ее радиус пропорционален расстоянию от ее центра до вершины угла. Для наших двух окружностей (искомой и вспомогательной) это означает:

$$ \frac{r_1}{R'} = \frac{AO_1}{AO'} $$

где $R'$ — радиус вспомогательной окружности, $R' = O'P_1'$, так как точка $P_1'$ лежит на ней.

Сопоставляя два полученных равенства, имеем:

$$ \frac{O_1P}{O'P_1'} = \frac{r_1}{R'} $$

Подставив $R' = O'P_1'$, получаем $O_1P = r_1$.

Это равенство означает, что расстояние от центра $O_1$ до точки $P$ равно радиусу окружности с центром $O_1$, касающейся сторон угла. Следовательно, построенная окружность с центром $O_1$ и радиусом $O_1P$ действительно проходит через точку $P$ и касается сторон угла. Аналогичные рассуждения верны и для второй окружности с центром $O_2$.

Ответ: Алгоритм построения искомой окружности подробно описан выше. Он основан на построении биссектрисы угла, затем вспомогательной касающейся окружности и использовании гомотетии с центром в вершине угла для нахождения центров искомых окружностей. В общем случае задача имеет два решения.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 21 расположенного на странице 354 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №21 (с. 354), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться