Номер 1347, страница 355 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1347, страница 355.

1347 На рисунке 416 ABCD — параллелограмм. По данным этого рисунка найдите отношение площадей: а) треугольников DPQ и APB; б) треугольников DPQ и СBQ.

а) Рассмотрим треугольники $?DPQ$ и $?APB$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, $AB \parallel DC$ и $AB = DC$.

Из условия $DQ=8$ и $QC=16$, находим длину стороны $DC$: $DC = DQ + QC = 8 + 16 = 24$. Это совпадает с длиной стороны $AB=24$.

Так как $AB \parallel DC$, то $AB \parallel DQ$. Рассмотрим треугольники $?DPQ$ и $?APB$:

1. Угол $?P$ является общим для обоих треугольников (вертикальные углы при пересечении прямых $AD$ и $PB$ в точке $P$?). Нет, по рисунку прямые $PA$ и $PB$ образуют угол при вершине $P$. Таким образом, $?DPQ$ и $?APB$ - это один и тот же угол. Точнее, $?QPD$ и $?BPA$ - это один и тот же угол $?P$.

2. Так как $DQ \parallel AB$, то $?PDQ = ?PAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $DC$ и $AB$ и секущей $PA$.

Следовательно, треугольники $?DPQ$ и $?APB$ подобны по двум углам (признак подобия AA).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (квадрату отношения их соответственных сторон).

$ \frac{S_{?DPQ}}{S_{?APB}} = (\frac{DQ}{AB})^2 $

Подставим известные значения:

$ \frac{S_{?DPQ}}{S_{?APB}} = (\frac{8}{24})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} $

Ответ: $1/9$.

б) Рассмотрим треугольники $?DPQ$ и $?CBQ$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$. Точка $P$ лежит на продолжении стороны $AD$, следовательно, прямая $PD$ параллельна прямой $BC$ ($PD \parallel BC$).

Рассмотрим треугольники $?DPQ$ и $?CBQ$:

1. $?DQP = ?CQB$ как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $DC$ и $PB$.

2. $?PDQ = ?BCQ$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $PD$ и $BC$ и секущей $DC$.

Следовательно, треугольники $?DPQ$ и $?CBQ$ подобны по двум углам (признак подобия AA).

Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Соответственными сторонами являются $DQ$ и $CQ$, так как они лежат напротив равных углов $?DPQ$ и $?CBQ$.

$ \frac{S_{?DPQ}}{S_{?CBQ}} = (\frac{DQ}{CQ})^2 $

Подставим известные значения:

$ \frac{S_{?DPQ}}{S_{?CBQ}} = (\frac{8}{16})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $

Ответ: $1/4$.