Страница 355 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1343 При данном движении каждая из вершин треугольника ABC отображается на себя. Докажите, что любая точка плоскости отображается на себя.

Пусть $f$ — данное движение (изометрия) плоскости. По условию, для вершин треугольника $ABC$ выполняются равенства: $f(A) = A$, $f(B) = B$ и $f(C) = C$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ являются неподвижными точками этого движения. Требуется доказать, что любая точка плоскости является неподвижной, то есть для любой точки $M$ на плоскости выполняется $f(M) = M$. Такое движение называется тождественным преобразованием.

Рассмотрим произвольную точку $M$ на плоскости. Пусть ее образом при движении $f$ является точка $M'$, то есть $f(M) = M'$.

По определению, движение (изометрия) — это преобразование, сохраняющее расстояния между точками. Следовательно, расстояние между любыми двумя точками равно расстоянию между их образами. Применим это свойство для пар точек $(A, M)$, $(B, M)$ и $(C, M)$.

Расстояние между $A$ и $M$ равно расстоянию между их образами $f(A)$ и $f(M)$. Так как $f(A) = A$ и $f(M) = M'$, то $AM = AM'$.
Аналогично, для пары точек $(B, M)$ имеем $BM = f(B)f(M) = BM'$.
И для пары точек $(C, M)$ имеем $CM = f(C)f(M) = CM'$.

Таким образом, точка $M'$ находится на тех же расстояниях от точек $A$, $B$ и $C$, что и точка $M$.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что существует хотя бы одна точка $M$, которая не отображается на себя, то есть $M \neq M'$.

Рассмотрим равенство $AM = AM'$. Оно означает, что точка $A$ равноудалена от концов отрезка $MM'$. Геометрическое место точек, равноудаленных от концов отрезка, — это его серединный перпендикуляр. Следовательно, точка $A$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$.

Аналогично, из равенства $BM = BM'$ следует, что точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$. Из равенства $CM = CM'$ следует, что и точка $C$ лежит на том же самом серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$.

Таким образом, если наше предположение $M \neq M'$ верно, то все три точки $A$, $B$ и $C$ должны лежать на одной прямой — серединном перпендикуляре к отрезку $MM'$. Однако по условию задачи $A$, $B$ и $C$ являются вершинами треугольника, а это значит, что они не могут лежать на одной прямой (неколлинеарны).

Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что $M \neq M'$, было неверным. Значит, для любой точки $M$ на плоскости должно выполняться равенство $M = M'$, то есть $f(M) = M$.

Это доказывает, что данное движение является тождественным преобразованием, и любая точка плоскости отображается на себя.

Ответ: Утверждение доказано. Движение, при котором три точки, не лежащие на одной прямой, остаются неподвижными, является тождественным преобразованием, то есть отображает каждую точку плоскости на себя.

1344 Докажите, что два прямоугольника равны, если: а) смежные стороны одного прямоугольника соответственно равны смежным сторонам другого; б) сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого.

а)

Рассмотрим два прямоугольника, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. По условию, их смежные стороны соответственно равны. Пусть $AB$ и $BC$ — смежные стороны первого прямоугольника, а $A_1B_1$ и $B_1C_1$ — второго. Тогда $AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$.

По свойству прямоугольника, его противоположные стороны равны. Для прямоугольника $ABCD$ это означает, что $CD = AB$ и $AD = BC$. Аналогично для прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$ имеем $C_1D_1 = A_1B_1$ и $A_1D_1 = B_1C_1$.

Сопоставляя эти равенства с условием, получаем, что все соответствующие стороны двух прямоугольников равны: $AB = A_1B_1$, $BC = B_1C_1$, $CD = AB = A_1B_1 = C_1D_1$ и $AD = BC = B_1C_1 = A_1D_1$.

Кроме того, все углы любого прямоугольника равны $90^\circ$. Таким образом, у данных прямоугольников равны все соответствующие стороны и все соответствующие углы. По определению равенства многоугольников (две фигуры равны, если их можно совместить наложением), такие прямоугольники равны.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Рассмотрим два прямоугольника, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. По условию, сторона и диагональ одного прямоугольника соответственно равны стороне и диагонали другого. Пусть сторона $AB$ и диагональ $AC$ первого прямоугольника равны стороне $A_1B_1$ и диагонали $A_1C_1$ второго, то есть $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ABC$, образованный сторонами $AB$, $BC$ и диагональю $AC$. Угол $\angle B = 90^\circ$, так как это угол прямоугольника. По теореме Пифагора, $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Отсюда можно выразить сторону $BC$:

$BC = \sqrt{AC^2 - AB^2}$

Аналогично, в прямоугольнике $A_1B_1C_1D_1$ для прямоугольного треугольника $\triangle A_1B_1C_1$ справедливо:

$B_1C_1 = \sqrt{A_1C_1^2 - A_1B_1^2}$

Так как по условию $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$, то правые части выражений для $BC$ и $B_1C_1$ равны. Следовательно, равны и левые части: $BC = B_1C_1$.

Таким образом, мы свели задачу к пункту а): смежные стороны прямоугольников соответственно равны ($AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$). Как было доказано, в этом случае прямоугольники равны.

Ответ: Утверждение доказано.

1345 На каждом из рисунков 414, а и б изображены два подобных многоугольника. Найдите x, y, z, α и β.

По определению, подобные многоугольники имеют соответственно равные углы и пропорциональные соответственные стороны. Обозначим многоугольники как M1 (верхний) и M2 (нижний).

1. Нахождение углов ? и ?.

В подобных многоугольниках соответственные углы равны. Углы с одинаковыми обозначениями (одинаковым количеством дуг) являются соответственными.

• Угол с одной дугой в M1 соответствует углу с одной дугой в M2. В M2 этот угол равен $110°$. Следовательно, угол с одной дугой в M1 также равен $110°$.
• Угол с двумя дугами в M1 соответствует углу с двумя дугами в M2.
• Оставшиеся два угла в M1 ($60°$ и $?$) должны соответствовать оставшимся двум углам в M2 ($?$ и угол с тремя дугами, который мы обозначим как $?$).

Для однозначного определения соответствия проследим последовательность сторон и углов по часовой стрелке.
Для M1, начиная с угла с одной дугой: (1 дуга) > сторона 12 > (2 дуги) > сторона 18 > (угол $?$) > сторона 15 > (угол $60°$) > сторона 21 > (1 дуга).
Для M2, начиная с угла $?$: ($?$) > сторона y > (2 дуги) > сторона z > ($?$, 3 дуги) > сторона 8 > ($110°$, 1 дуга) > сторона x > ($?$).

Видно, что многоугольники имеют разную ориентацию (один является зеркальным отражением другого). Сравним последовательность M1 по часовой стрелке с последовательностью M2 против часовой стрелки, начиная с соответственных углов (с одной дугой):
M1 (по часовой стрелке): (1 дуга) > 12 > (2 дуги) > 18 > ($?$) > 15 > ($60°$) > 21.
M2 (против часовой стрелки): ($110°$, 1 дуга) > 8 > ($?$) > z > (2 дуги) > y > ($?$) > x.

Сопоставляя последовательности, получаем соответствие углов:
Угол (2 дуги) в M1 соответствует углу $?$ в M2.
Угол $?$ в M1 соответствует углу (2 дуги) в M2.
Угол $60°$ в M1 соответствует углу $?$ в M2, то есть $? = 60°$.
Поскольку углы, отмеченные двумя дугами, соответственны, они равны. Из соответствия $?$ = (2 дуги) и $?$ = (2 дуги) следует, что $? = ?$.

Сумма углов четырехугольника равна $360°$. Для M2:
$? + (2 \text{ дуги}) + ? + 110° = 360°$
Подставляем $? = 60°$ и (2 дуги) = $?$:
$? + ? + 60° + 110° = 360°$
$2? + 170° = 360°$
$2? = 190°$
$? = 95°$.
Так как $? = ?$, то $? = 95°$.

2. Нахождение сторон x, y, z.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон. Найдем пару известных соответственных сторон. Сторона между углами (1 дуга) и (2 дуги) в M1 равна 12. Соответственная сторона в M2 находится между углами ($110°$) и ($?$), и ее длина равна x.
Сторона между углами ($60°$) и (1 дуга) в M1 равна 21. Соответственная сторона в M2 находится между углами ($? = 60°$) и ($110°$), и ее длина равна 8.
Следовательно, коэффициент подобия $k$ (отношение стороны M1 к стороне M2) равен:
$k = \frac{21}{8}$.

Теперь найдем неизвестные стороны, используя этот коэффициент:
Соответственные стороны: 12 и x. $k = \frac{12}{x} \Rightarrow \frac{21}{8} = \frac{12}{x} \Rightarrow x = \frac{12 \cdot 8}{21} = \frac{96}{21} = \frac{32}{7}$.
Соответственные стороны: 18 (между $?$ и 2 дугами) и y (между 2 дугами и $?$). $k = \frac{18}{y} \Rightarrow \frac{21}{8} = \frac{18}{y} \Rightarrow y = \frac{18 \cdot 8}{21} = \frac{144}{21} = \frac{48}{7}$.
Соответственные стороны: 15 (между $60°$ и $?$) и z (между $?=60°$ и 2 дугами). $k = \frac{15}{z} \Rightarrow \frac{21}{8} = \frac{15}{z} \Rightarrow z = \frac{15 \cdot 8}{21} = \frac{120}{21} = \frac{40}{7}$.

Ответ: $x = \frac{32}{7}$, $y = \frac{48}{7}$, $z = \frac{40}{7}$, $? = 95°$, $? = 95°$.

Аналогично пункту а), используем свойства подобных многоугольников. Обозначим многоугольники как M3 (верхний) и M4 (нижний).

1. Нахождение углов ? и ?.

Углы с одинаковыми обозначениями (дугами) соответственны и равны. Оставшиеся углы многоугольника M3 ($50°$ и $?$) должны быть равны оставшимся углам многоугольника M4 ($?$ и $70°$). Отсюда возможны два варианта:
1) $? = 50°$ и $? = 70°$
2) $? = 70°$ и $? = 50°$

Чтобы определить верный вариант, проследим последовательность сторон и углов по часовой стрелке.
Для M3: ($50°$) > сторона 27 > (2 дуги) > сторона 18 > ($?$) > сторона 21 > (1 дуга) > сторона y > ($50°$).
Для M4: ($?$) > сторона z > (2 дуги) > сторона 12 > ($70°$) > сторона x > (1 дуга) > сторона 18 > ($?$).

Сравним последовательности, начиная с угла с двумя дугами.
M3: (2 дуги) > 18 > ($?$) > 21 > (1 дуга) > y > ($50°$) > 27.
M4: (2 дуги) > 12 > ($70°$) > x > (1 дуга) > 18 > ($?$) > z.

Сопоставляя углы, идущие после сторон 18 и 12, получаем: $?$ соответствует $70°$.
Сопоставляя углы, идущие после сторон y и 18, получаем: $50°$ соответствует $?$.
Следовательно, верным является первый вариант: $? = 50°$ и $? = 70°$.

2. Нахождение сторон x, y, z.

Найдем коэффициент подобия $k$. Сторона между углами (2 дуги) и $?$ в M3 равна 18. Соответственная сторона в M4 находится между углами (2 дуги) и $70°$, ее длина равна 12.
Коэффициент подобия $k$ (отношение стороны M3 к стороне M4) равен:
$k = \frac{18}{12} = \frac{3}{2}$.

Теперь найдем неизвестные стороны:
Сторона y в M3 (между 1 дугой и $50°$) соответствует стороне 18 в M4 (между 1 дугой и $? = 50°$).
$k = \frac{y}{18} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{y}{18} \Rightarrow y = \frac{3 \cdot 18}{2} = 27$.
Сторона 21 в M3 (между $? = 70°$ и 1 дугой) соответствует стороне x в M4 (между $70°$ и 1 дугой).
$k = \frac{21}{x} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{21}{x} \Rightarrow 3x = 42 \Rightarrow x = 14$.
Сторона 27 в M3 (между $50°$ и 2 дугами) соответствует стороне z в M4 (между $? = 50°$ и 2 дугами).
$k = \frac{27}{z} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{27}{z} \Rightarrow 3z = 54 \Rightarrow z = 18$.

Ответ: $x = 14$, $y = 27$, $z = 18$, $? = 50°$, $? = 70°$.

1346 В треугольник АВС вписан параллелограмм APNM так, как показано на рисунке 415. Известно, что АС=32см, АВ=24см, а стороны параллелограмма относятся к друг другу как 4 : 3. Определите длины сторон параллелограмма.

Пусть стороны параллелограмма $APNM$ равны $AP$ и $AM$. Обозначим их длины как $l_1$ и $l_2$ соответственно: $AP = l_1$ и $AM = l_2$.По свойству параллелограмма его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, $MN = AP = l_1$ и $PN = AM = l_2$. Также $MN \parallel AP$, а так как точка $P$ лежит на стороне $AC$, то $MN \parallel AC$.

Рассмотрим треугольники $BMN$ и $BAC$.У них есть общий угол $\angle B$.Поскольку $MN \parallel AC$, то углы $\angle BMN$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при параллельных прямых $MN$ и $AC$ и секущей $AB$.Следовательно, треугольник $BMN$ подобен треугольнику $BAC$ по двум углам ($\triangle BMN \sim \triangle BAC$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:$\frac{BM}{BA} = \frac{MN}{AC}$

Нам известны длины сторон треугольника $ABC$: $AB = 24$ см, $AC = 32$ см.Длина стороны $MN$ параллелограмма равна $l_1$.Длину отрезка $BM$ можно выразить через сторону $AB$ и сторону параллелограмма $AM$:$BM = AB - AM = 24 - l_2$.

Подставим все известные значения в пропорцию:$\frac{24 - l_2}{24} = \frac{l_1}{32}$

Упростим это уравнение. Умножим обе части на $96$ (наименьшее общее кратное для 24 и 32):$4 \cdot (24 - l_2) = 3 \cdot l_1$$96 - 4l_2 = 3l_1$$3l_1 + 4l_2 = 96$

По условию, стороны параллелограмма относятся как $4:3$. Это означает, что возможны два случая.

Случай 1: $l_1 : l_2 = 4 : 3$.Пусть $l_1 = 4x$ и $l_2 = 3x$ для некоторого коэффициента пропорциональности $x$.Подставим эти выражения в полученное уравнение:$3(4x) + 4(3x) = 96$$12x + 12x = 96$$24x = 96$$x = 4$Тогда длины сторон параллелограмма:$l_1 = 4 \cdot 4 = 16$ см$l_2 = 3 \cdot 4 = 12$ см

Случай 2: $l_1 : l_2 = 3 : 4$.Пусть $l_1 = 3x$ и $l_2 = 4x$.Подставим эти выражения в уравнение:$3(3x) + 4(4x) = 96$$9x + 16x = 96$$25x = 96$$x = \frac{96}{25} = 3.84$Тогда длины сторон параллелограмма:$l_1 = 3 \cdot 3.84 = 11.52$ см$l_2 = 4 \cdot 3.84 = 15.36$ см

Так как в условии не уточнено, какая именно сторона относится к какой, оба решения являются верными. Однако в школьных задачах чаще всего подразумевается целочисленный ответ.

Ответ: длины сторон параллелограмма равны 16 см и 12 см, или 11,52 см и 15,36 см.

1347 На рисунке 416 ABCD — параллелограмм. По данным этого рисунка найдите отношение площадей: а) треугольников DPQ и APB; б) треугольников DPQ и СBQ.

а) Рассмотрим треугольники $?DPQ$ и $?APB$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, его противоположные стороны параллельны и равны. Следовательно, $AB \parallel DC$ и $AB = DC$.

Из условия $DQ=8$ и $QC=16$, находим длину стороны $DC$: $DC = DQ + QC = 8 + 16 = 24$. Это совпадает с длиной стороны $AB=24$.

Так как $AB \parallel DC$, то $AB \parallel DQ$. Рассмотрим треугольники $?DPQ$ и $?APB$:

1. Угол $?P$ является общим для обоих треугольников (вертикальные углы при пересечении прямых $AD$ и $PB$ в точке $P$?). Нет, по рисунку прямые $PA$ и $PB$ образуют угол при вершине $P$. Таким образом, $?DPQ$ и $?APB$ - это один и тот же угол. Точнее, $?QPD$ и $?BPA$ - это один и тот же угол $?P$.

2. Так как $DQ \parallel AB$, то $?PDQ = ?PAB$ как соответственные углы при параллельных прямых $DC$ и $AB$ и секущей $PA$.

Следовательно, треугольники $?DPQ$ и $?APB$ подобны по двум углам (признак подобия AA).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия (квадрату отношения их соответственных сторон).

$ \frac{S_{?DPQ}}{S_{?APB}} = (\frac{DQ}{AB})^2 $

Подставим известные значения:

$ \frac{S_{?DPQ}}{S_{?APB}} = (\frac{8}{24})^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9} $

Ответ: $1/9$.

б) Рассмотрим треугольники $?DPQ$ и $?CBQ$.

Поскольку $ABCD$ — параллелограмм, то $AD \parallel BC$. Точка $P$ лежит на продолжении стороны $AD$, следовательно, прямая $PD$ параллельна прямой $BC$ ($PD \parallel BC$).

Рассмотрим треугольники $?DPQ$ и $?CBQ$:

1. $?DQP = ?CQB$ как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $DC$ и $PB$.

2. $?PDQ = ?BCQ$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $PD$ и $BC$ и секущей $DC$.

Следовательно, треугольники $?DPQ$ и $?CBQ$ подобны по двум углам (признак подобия AA).

Отношение их площадей равно квадрату коэффициента подобия. Соответственными сторонами являются $DQ$ и $CQ$, так как они лежат напротив равных углов $?DPQ$ и $?CBQ$.

$ \frac{S_{?DPQ}}{S_{?CBQ}} = (\frac{DQ}{CQ})^2 $

Подставим известные значения:

$ \frac{S_{?DPQ}}{S_{?CBQ}} = (\frac{8}{16})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $

Ответ: $1/4$.

1348 Дан треугольник АВС. Постройте треугольник А₁В₁С₁, подобный треугольнику АВС, площадь которого в 2 раза больше площади треугольника АВС.

Для решения задачи нам нужно построить треугольник $A_1B_1C_1$, подобный данному треугольнику $ABC$, площадь которого в 2 раза больше площади $\triangle ABC$.

Анализ и план построения

Пусть $S$ и $S_1$ — площади треугольников $ABC$ и $A_1B_1C_1$ соответственно. Известно, что отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия $k$.

$\frac{S_1}{S} = k^2$

По условию задачи, $S_1 = 2S$, следовательно, $\frac{S_1}{S} = 2$.

$k^2 = 2 \Rightarrow k = \sqrt{2}$

Таким образом, коэффициент подобия искомого треугольника к данному равен $\sqrt{2}$. Это означает, что стороны треугольника $A_1B_1C_1$ должны быть в $\sqrt{2}$ раз длиннее соответствующих сторон треугольника $ABC$.

$A_1B_1 = AB \cdot \sqrt{2}$
$B_1C_1 = BC \cdot \sqrt{2}$
$A_1C_1 = AC \cdot \sqrt{2}$

Для построения искомого треугольника удобно использовать метод гомотетии (преобразования подобия) с центром в одной из вершин исходного треугольника, например, в вершине $A$. В этом случае искомый треугольник будет иметь вид $AB_1C_1$, где точки $B_1$ и $C_1$ лежат на лучах $AB$ и $AC$ соответственно.

Ключевой задачей построения является построение отрезка длиной $x\sqrt{2}$, имея отрезок длиной $x$. Это можно сделать, построив прямоугольный равнобедренный треугольник с катетом $x$. Его гипотенуза по теореме Пифагора будет равна $\sqrt{x^2+x^2} = \sqrt{2x^2} = x\sqrt{2}$.

Построение

1. Возьмем данный треугольник $ABC$.
2. Построим отрезок длиной $AB\sqrt{2}$. Для этого проведем через точку $A$ прямую, перпендикулярную отрезку $AB$.
3. На этой перпендикулярной прямой отложим с помощью циркуля отрезок $AD$, равный $AB$.
4. Соединим точки $D$ и $B$. Получим прямоугольный равнобедренный треугольник $ADB$ с прямым углом $A$. Длина его гипотенузы $DB$ равна $AB\sqrt{2}$.
5. На луче $AB$ отложим от точки $A$ отрезок $AB_1$, равный отрезку $DB$. Для этого используем циркуль: установим ножку в точку $A$, а карандаш — в точку $B_1$ на луче $AB$ так, чтобы $AB_1 = DB$. Таким образом, $AB_1 = AB\sqrt{2}$.
6. Аналогично построим на луче $AC$ точку $C_1$. На той же прямой, перпендикулярной $AB$ и проходящей через $A$, отложим отрезок $AE$, равный $AC$.
7. Соединим точки $E$ и $C$. Длина гипотенузы $EC$ в прямоугольном треугольнике $AEC$ будет равна $AC\sqrt{2}$.
8. На луче $AC$ отложим от точки $A$ отрезок $AC_1$, равный отрезку $EC$. Таким образом, $AC_1 = AC\sqrt{2}$.
9. Соединим точки $B_1$ и $C_1$.

Полученный треугольник $AB_1C_1$ является искомым треугольником.

Доказательство

Рассмотрим построенный треугольник $AB_1C_1$ и исходный треугольник $ABC$.

• Угол $\angle BAC$ у них общий.
• По построению, стороны, образующие этот угол, пропорциональны: $\frac{AB_1}{AB} = \frac{AB\sqrt{2}}{AB} = \sqrt{2}$ и $\frac{AC_1}{AC} = \frac{AC\sqrt{2}}{AC} = \sqrt{2}$.

Следовательно, по второму признаку подобия (по двум пропорциональным сторонам и углу между ними), $\triangle AB_1C_1 \sim \triangle ABC$ с коэффициентом подобия $k = \sqrt{2}$.

Отношение площадей этих треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$\frac{S_{AB_1C_1}}{S_{ABC}} = k^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Это означает, что $S_{AB_1C_1} = 2 \cdot S_{ABC}$. Таким образом, построенный треугольник $AB_1C_1$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Искомый треугольник строится методом гомотетии с центром в одной из вершин исходного треугольника (например, $A$) и коэффициентом $k=\sqrt{2}$. Для этого на лучах $AB$ и $AC$ строятся новые вершины $B_1$ и $C_1$ так, что $AB_1 = AB\sqrt{2}$ и $AC_1 = AC\sqrt{2}$. Длины $AB\sqrt{2}$ и $AC\sqrt{2}$ строятся как гипотенузы прямоугольных равнобедренных треугольников с катетами $AB$ и $AC$ соответственно.

1349 Дан квадрат АВСD, площадь которого равна S. Постройте квадраты, площади которых равны: а) 14S; б) 19S; в) 3S.

Пусть сторона данного квадрата `ABCD` равна `a`, тогда его площадь `S = a^2`. Требуется построить квадрат, площадь которого равна $S_1 = \frac{1}{4}S = \frac{1}{4}a^2$. Пусть сторона искомого квадрата равна $x$. Тогда $x^2 = \frac{1}{4}a^2$, откуда $x = \frac{a}{2}$. Таким образом, нам нужно построить квадрат со стороной, равной половине стороны исходного квадрата.

Построение:
1. Находим середину стороны `AB` квадрата `ABCD` и обозначаем ее точкой `M`. Длина отрезка `AM` равна $\frac{a}{2}$.
2. Аналогично находим середину смежной стороны `AD` и обозначаем ее точкой `N`.
3. Проводим через точку `M` прямую, параллельную стороне `AD`, и через точку `N` — прямую, параллельную стороне `AB`. Эти прямые пересекутся в точке `K`.
4. Полученный квадрат `AMKN` является искомым. Его сторона `AM` равна $\frac{a}{2}$, а площадь равна $(\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} = \frac{1}{4}S$.

Ответ: Искомый квадрат — это любой из четырех квадратов, полученных делением исходного квадрата отрезками, соединяющими середины его противоположных сторон.

Площадь искомого квадрата $S_2 = \frac{1}{9}S = \frac{1}{9}a^2$. Если его сторона равна $x$, то $x^2 = \frac{1}{9}a^2$, откуда $x = \frac{a}{3}$. Задача сводится к построению квадрата со стороной, равной одной трети стороны исходного квадрата.

Построение:
1. Разделим сторону `AB` исходного квадрата на три равные части. Это можно сделать с помощью теоремы Фалеса. Для этого из точки `A` проводим произвольный луч, не лежащий на прямой `AB`, и откладываем на нем циркулем три равных отрезка произвольной длины: `AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3`. Соединяем точку `P_3` с точкой `B`. Затем проводим через точки `P_1` и `P_2` прямые, параллельные `P_3B`. Эти прямые пересекут отрезок `AB` в точках `M_1` и `M_2`, разделив его на три равные части. Длина отрезка `AM_1` равна $\frac{a}{3}$.
2. Построим квадрат на стороне `AM_1`. Для этого можно аналогично разделить сторону `AD` на три части (получив точку `N_1` такую, что $AN_1 = \frac{a}{3}$) и достроить квадрат `AM_1KN_1`.

Ответ: Искомый квадрат — это любой из девяти квадратов, полученных делением исходного квадрата на 9 равных частей прямыми, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на три равные части.

Площадь искомого квадрата $S_3 = 3S = 3a^2$. Если его сторона равна $x$, то $x^2 = 3a^2$, откуда $x = a\sqrt{3}$. Нам нужно построить отрезок длиной $a\sqrt{3}$ и затем построить на нем квадрат.

Построение отрезка длиной $a\sqrt{3}$ можно выполнить с помощью теоремы Пифагора. Заметим, что $(a\sqrt{3})^2 = 3a^2 = a^2 + 2a^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2$. Это означает, что отрезок искомой длины является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $a\sqrt{2}$.

Построение:
1. В данном квадрате `ABCD` со стороной `a` строим диагональ `BD`. Ее длина, согласно теореме Пифагора, равна $\sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
2. Строим прямоугольный треугольник, у которого один катет равен стороне квадрата `AB` (длиной `a`), а другой катет равен его диагонали `BD` (длиной $a\sqrt{2}$). Для этого на продолжении стороны `DA` за точку `A` отложим отрезок `AE`, равный по длине диагонали `BD`. Это можно сделать циркулем, установив его раствор равным `BD` и проведя дугу с центром в `A`.
3. Поскольку сторона `AD` перпендикулярна `AB`, то построенный треугольник `EAB` является прямоугольным с катетами $AE = a\sqrt{2}$ и $AB = a$.
4. Гипотенуза `EB` этого треугольника по теореме Пифагора имеет длину $\sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
5. Отрезок `EB` является стороной искомого квадрата. Строим квадрат на стороне `EB`, используя циркуль и линейку.

Ответ: Искомый квадрат — это квадрат, построенный на отрезке, который является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными стороне и диагонали исходного квадрата.

1350 На прямой отмечены точки на одинаковом расстоянии друг от друга (рис. 417). Найдите коэффициент k гомотетии, если известно, что: а) точка N переходит в точку P и M — центр гомотетии; б) точка Q переходит в точку N и P — центр гомотетии; в) точка M переходит в точку R и N — центр гомотетии; г) точка M переходит в точку Q и R — центр гомотетии.

Для решения задачи воспользуемся определением гомотетии. Гомотетия с центром $C$ и коэффициентом $k$ — это преобразование, которое переводит точку $A$ (прообраз) в точку $A'$ (образ) так, что выполняется векторное равенство $\vec{CA'} = k \cdot \vec{CA}$.

Коэффициент гомотетии $k$ можно найти как отношение расстояния от центра до образа к расстоянию от центра до прообраза. Знак коэффициента зависит от их взаимного расположения:

• Если образ и прообраз лежат по одну сторону от центра гомотетии, коэффициент $k$ положителен ($k > 0$).
• Если образ и прообраз лежат по разные стороны от центра гомотетии, коэффициент $k$ отрицателен ($k < 0$).

Точки на прямой M, N, P, Q, R отмечены на одинаковом расстоянии друг от друга. Примем это расстояние за условную единицу $d$. Тогда $MN = NP = PQ = QR = d$.

Дано: точка $N$ переходит в точку $P$, и $M$ — центр гомотетии.Прообраз — точка $N$, образ — точка $P$.Центр гомотетии — точка $M$.Точки $N$ и $P$ лежат по одну сторону от центра $M$, следовательно, коэффициент $k$ положителен.Найдем расстояния от центра до прообраза и образа:

• Расстояние от центра $M$ до прообраза $N$: $MN = d$.
• Расстояние от центра $M$ до образа $P$: $MP = MN + NP = d + d = 2d$.

Вычислим коэффициент $k$:$k = \frac{MP}{MN} = \frac{2d}{d} = 2$.

Ответ: $k=2$.

Дано: точка $Q$ переходит в точку $N$, и $P$ — центр гомотетии.Прообраз — точка $Q$, образ — точка $N$.Центр гомотетии — точка $P$.Точки $Q$ и $N$ лежат по разные стороны от центра $P$, следовательно, коэффициент $k$ отрицателен.Найдем расстояния от центра до прообраза и образа:

• Расстояние от центра $P$ до прообраза $Q$: $PQ = d$.
• Расстояние от центра $P$ до образа $N$: $PN = d$.

Вычислим коэффициент $k$:$k = -\frac{PN}{PQ} = -\frac{d}{d} = -1$.

Ответ: $k=-1$.

Дано: точка $M$ переходит в точку $R$, и $N$ — центр гомотетии.Прообраз — точка $M$, образ — точка $R$.Центр гомотетии — точка $N$.Точки $M$ и $R$ лежат по разные стороны от центра $N$, следовательно, коэффициент $k$ отрицателен.Найдем расстояния от центра до прообраза и образа:

• Расстояние от центра $N$ до прообраза $M$: $NM = d$.
• Расстояние от центра $N$ до образа $R$: $NR = NP + PQ + QR = d + d + d = 3d$.

Вычислим коэффициент $k$:$k = -\frac{NR}{NM} = -\frac{3d}{d} = -3$.

Ответ: $k=-3$.

Дано: точка $M$ переходит в точку $Q$, и $R$ — центр гомотетии.Прообраз — точка $M$, образ — точка $Q$.Центр гомотетии — точка $R$.Точки $M$ и $Q$ лежат по одну сторону от центра $R$, следовательно, коэффициент $k$ положителен.Найдем расстояния от центра до прообраза и образа:

• Расстояние от центра $R$ до прообраза $M$: $RM = RQ + QP + PN + NM = d + d + d + d = 4d$.
• Расстояние от центра $R$ до образа $Q$: $RQ = d$.

Вычислим коэффициент $k$:$k = \frac{RQ}{RM} = \frac{d}{4d} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $k=\frac{1}{4}$.