Страница 360 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1378 Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты её вершин равны: (х₁; у₁), (x₂; у₂), (х₃; у₃).

Согласно условию задачи, центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения ее медиан. Нам необходимо найти координаты этой точки, зная координаты вершин треугольника: $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, и $(x_3; y_3)$.

Обозначим вершины треугольника как $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$ и $C(x_3; y_3)$.

Рассмотрим медиану, проведенную из вершины $A$ к середине противолежащей стороны $BC$. Пусть $M_1$ — середина стороны $BC$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов.

Координаты точки $M_1$ будут:

$x_{M_1} = \frac{x_2 + x_3}{2}$

$y_{M_1} = \frac{y_2 + y_3}{2}$

Таким образом, точка $M_1$ имеет координаты $(\frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2})$.

Из геометрии известно, что точка пересечения медиан (которую называют центроидом треугольника) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим центр тяжести как точку $O(x_O; y_O)$. Эта точка делит медиану $AM_1$ так, что отношение $AO$ к $OM_1$ равно $2:1$.

Воспользуемся формулой для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Если точка $P(x; y)$ делит отрезок с концами в точках $P_1(x_a; y_a)$ и $P_2(x_b; y_b)$ в отношении $m:n$, то ее координаты вычисляются по формулам:

$x = \frac{n \cdot x_a + m \cdot x_b}{m + n}$

$y = \frac{n \cdot y_a + m \cdot y_b}{m + n}$

В нашем случае точка $O$ делит отрезок $AM_1$ в отношении $m:n = 2:1$. Координаты точки $A$ — это $(x_1; y_1)$, а координаты точки $M_1$ — это $(\frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2})$.

Подставим эти значения в формулы для вычисления координат $x_O$ и $y_O$:

$x_O = \frac{1 \cdot x_1 + 2 \cdot (\frac{x_2 + x_3}{2})}{1 + 2} = \frac{x_1 + (x_2 + x_3)}{3} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$

$y_O = \frac{1 \cdot y_1 + 2 \cdot (\frac{y_2 + y_3}{2})}{1 + 2} = \frac{y_1 + (y_2 + y_3)}{3} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

Таким образом, мы получили, что координаты центра тяжести треугольной пластинки являются средним арифметическим соответствующих координат ее вершин.

Ответ: $(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$

1379 Вершины треугольника ABC имеют координаты A (−3; 0), B (0; 4), C (3; 0). Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Найдите координаты точки D.

Чтобы найти координаты точки D, воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Для биссектрисы AD угла A в треугольнике ABC справедливо соотношение:

$$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} $$

Для применения этого свойства нам необходимо сначала найти длины сторон AB и AC.

1. Вычисление длин сторон AB и AC

Длину отрезка между двумя точками с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ находим по формуле:

$$ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} $$

Имеем координаты вершин: A(-3; 0), B(0; 4), C(3; 0).

Найдем длину стороны AB:

$$ AB = \sqrt{(0 - (-3))^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 $$

Найдем длину стороны AC:

$$ AC = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (0 - 0)^2} = \sqrt{6^2 + 0^2} = \sqrt{36} = 6 $$

2. Определение отношения, в котором точка D делит сторону BC

Теперь мы можем найти отношение, в котором биссектриса AD делит сторону BC:

$$ \frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{5}{6} $$

Таким образом, точка D делит отрезок BC в отношении $5:6$, считая от точки B.

3. Нахождение координат точки D

Координаты точки D, которая делит отрезок BC с концами в точках $B(x_B, y_B)$ и $C(x_C, y_C)$ в отношении $m:n$, вычисляются по формулам деления отрезка в данном отношении:

$$ x_D = \frac{n \cdot x_B + m \cdot x_C}{m + n} $$

$$ y_D = \frac{n \cdot y_B + m \cdot y_C}{m + n} $$

Подставим известные значения: $B(0; 4)$, $C(3; 0)$, $m=5$, $n=6$.

Координата x точки D:

$$ x_D = \frac{6 \cdot 0 + 5 \cdot 3}{5 + 6} = \frac{0 + 15}{11} = \frac{15}{11} $$

Координата y точки D:

$$ y_D = \frac{6 \cdot 4 + 5 \cdot 0}{5 + 6} = \frac{24 + 0}{11} = \frac{24}{11} $$

Следовательно, координаты точки D есть $(\frac{15}{11}; \frac{24}{11})$.

Ответ: $D(\frac{15}{11}; \frac{24}{11})$.

1380 В треугольнике ABC: AC = 9 см, ВС = 12 см. Медианы AM и BN взаимно перпендикулярны. Найдите AB.

Дано:

Треугольник $ABC$.

$AC = 9$ см.

$BC = 12$ см.

$AM$ – медиана.

$BN$ – медиана.

$AM \perp BN$.

Найти:

$AB$.

Решение:

1. Пусть медианы $AM$ и $BN$ пересекаются в точке $O$. По свойству медиан, точка их пересечения делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Следовательно, $AO : OM = 2:1$ и $BO : ON = 2:1$.

2. Так как $AM$ и $BN$ – медианы, то $M$ – середина $BC$, а $N$ – середина $AC$. Найдем длины отрезков $MC$ и $NC$:

$MC = \frac{1}{2} BC = \frac{12}{2} = 6$ см.

$NC = \frac{1}{2} AC = \frac{9}{2} = 4,5$ см.

3. По условию, медианы $AM$ и $BN$ взаимно перпендикулярны, значит $\angle AOB = 90^\circ$. Следовательно, треугольники $\triangle AON$, $\triangle BOM$ и $\triangle AOB$ являются прямоугольными.

4. Введем переменные. Пусть $OM = x$ и $ON = y$. Тогда, согласно свойству точки пересечения медиан, $AO = 2x$ и $BO = 2y$.

5. Применим теорему Пифагора для прямоугольных треугольников $\triangle AON$ и $\triangle BOM$:

• В $\triangle AON$ (где $\angle AON = 90^\circ$):
  $AN^2 = AO^2 + ON^2$
  $(4,5)^2 = (2x)^2 + y^2$
  $20,25 = 4x^2 + y^2$ (1)
• В $\triangle BOM$ (где $\angle BOM = 90^\circ$):
  $BM^2 = BO^2 + OM^2$
  $6^2 = (2y)^2 + x^2$
  $36 = 4y^2 + x^2$ (2)

6. Мы получили систему из двух уравнений. Сложим их:

$(4x^2 + y^2) + (x^2 + 4y^2) = 20,25 + 36$

$5x^2 + 5y^2 = 56,25$

Разделим обе части уравнения на 5:

$x^2 + y^2 = 11,25$

7. Теперь найдем длину стороны $AB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOB$ (где $\angle AOB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$AB^2 = AO^2 + BO^2$

Подставим выражения через $x$ и $y$:

$AB^2 = (2x)^2 + (2y)^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2 + y^2)$

Из шага 6 мы знаем, что $x^2 + y^2 = 11,25$. Подставим это значение:

$AB^2 = 4 \cdot 11,25 = 45$

$AB = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$ см.

Ответ: $3\sqrt{5}$ см.

1381 Найдите координаты центра тяжести системы трёх масс m₁, m₂ и m₃, сосредоточенных соответственно в точках A₁ (x₁; y₁), А₂ (х₂; у₂), А₃ (x₃; у₃).

Центр тяжести (или центр масс) системы материальных точек определяется как точка, координаты которой являются средневзвешенными значениями координат этих точек. В качестве весов при усреднении используются массы соответствующих точек.

Рассмотрим систему из трёх масс $m_1, m_2, m_3$, которые сосредоточены в точках $A_1(x_1; y_1)$, $A_2(x_2; y_2)$ и $A_3(x_3; y_3)$ соответственно. Пусть $C(x_c; y_c)$ — искомый центр тяжести.

Координаты центра тяжести вычисляются для каждой оси независимо.

Абсцисса центра тяжести $x_c$ равна сумме произведений масс на соответствующие абсциссы, деленной на общую массу системы:
$x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$

Аналогично, ордината центра тяжести $y_c$ равна сумме произведений масс на соответствующие ординаты, деленной на общую массу системы:
$y_c = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3}$

В этих формулах числитель представляет собой статический момент системы масс относительно соответствующей оси, а знаменатель $M = m_1 + m_2 + m_3$ — это общая масса системы.

Ответ: $x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$, $y_c = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3}$.

1382 В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку M, для которой сумма её расстояний от точек A и B имеет наименьшее значение:
а) A (2; 3), B (4; −5);
б) A (−2; 4), В (3; 1).

а) Даны точки $A(2; 3)$ и $B(4; -5)$. Искомая точка $M$ лежит на оси абсцисс, следовательно, ее координаты имеют вид $M(x; 0)$. Задача состоит в том, чтобы найти такое значение $x$, при котором сумма расстояний $AM + BM$ будет наименьшей.

Обратим внимание, что ординаты точек $A$ ($y_A=3$) и $B$ ($y_B=-5$) имеют разные знаки. Это означает, что точки лежат по разные стороны от оси абсцисс ($Ox$). В этом случае, согласно свойству кратчайшего пути, сумма расстояний $AM + BM$ будет минимальной, если точка $M$ лежит на отрезке прямой, соединяющей точки $A$ и $B$. Таким образом, искомая точка $M$ — это точка пересечения прямой $AB$ с осью абсцисс.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки $A(2; 3)$ и $B(4; -5)$, используя каноническое уравнение прямой:$\frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A}$

Подставим координаты точек $A$ и $B$:$\frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 3}{-5 - 3}$

Упростим выражение:$\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{-8}$

Так как точка $M$ лежит на оси абсцисс, ее ордината $y=0$. Подставим это значение в уравнение прямой, чтобы найти абсциссу точки $M$:$\frac{x - 2}{2} = \frac{0 - 3}{-8}$

$\frac{x - 2}{2} = \frac{-3}{-8} = \frac{3}{8}$

Теперь решим уравнение относительно $x$:$x - 2 = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$x = 2 + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$

Следовательно, координаты искомой точки $M$ — это $(\frac{11}{4}; 0)$.

Ответ: $M(\frac{11}{4}; 0)$.

б) Даны точки $A(-2; 4)$ и $B(3; 1)$. Точка $M$ лежит на оси абсцисс, поэтому ее координаты $M(x; 0)$.

В этом случае ординаты точек $A$ ($y_A=4$) и $B$ ($y_B=1$) обе положительны. Это означает, что обе точки лежат по одну сторону от оси абсцисс ($Ox$).

Для нахождения точки $M$, которая минимизирует сумму $AM + BM$, используется метод симметричного отражения. Отразим одну из точек, например $B$, симметрично относительно оси абсцисс. Координаты отраженной точки $B'$ будут $(3; -1)$.

Для любой точки $M$ на оси $Ox$ расстояние $BM$ равно расстоянию $B'M$ (так как ось $Ox$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BB'$). Следовательно, задача минимизации суммы $AM + BM$ эквивалентна задаче минимизации суммы $AM + B'M$.

Сумма $AM + B'M$ будет наименьшей, когда точки $A$, $M$ и $B'$ лежат на одной прямой (поскольку $A$ и $B'$ находятся по разные стороны от оси $Ox$). Таким образом, искомая точка $M$ — это точка пересечения прямой $AB'$ с осью абсцисс.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки $A(-2; 4)$ и $B'(3; -1)$:$\frac{x - x_A}{x_{B'} - x_A} = \frac{y - y_A}{y_{B'} - y_A}$

Подставим координаты:$\frac{x - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{y - 4}{-1 - 4}$

$\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 4}{-5}$

Поскольку точка $M$ лежит на оси абсцисс, ее ордината $y=0$. Подставим это значение в уравнение:$\frac{x + 2}{5} = \frac{0 - 4}{-5}$

$\frac{x + 2}{5} = \frac{-4}{-5} = \frac{4}{5}$

Решим уравнение относительно $x$:$x + 2 = 4$

$x = 2$

Следовательно, координаты искомой точки $M$ — это $(2; 0)$.

Ответ: $M(2; 0)$.

1383 Докажите, что:
а) уравнение Ax + Ву + С = 0, где A и B одновременно не равны нулю, является уравнением прямой;
б) уравнение x² − xy − 2 = 0 не является уравнением окружности.

а) Доказательство того, что уравнение $Ax + By + C = 0$ (где $A$ и $B$ одновременно не равны нулю) является уравнением прямой, основано на рассмотрении двух возможных случаев.
1. Случай, когда $B \neq 0$. В этом случае мы можем выразить $y$ из уравнения:
$By = -Ax - C$
$y = (-\frac{A}{B})x - \frac{C}{B}$
Полученное уравнение имеет вид $y = kx + m$, где $k = -\frac{A}{B}$ и $m = -\frac{C}{B}$. Это каноническое уравнение прямой с угловым коэффициентом.
2. Случай, когда $B = 0$. Согласно условию, $A$ и $B$ не могут быть равны нулю одновременно, поэтому если $B = 0$, то $A \neq 0$. Уравнение принимает вид:
$Ax + C = 0$
$Ax = -C$
$x = -\frac{C}{A}$
Это уравнение задает вертикальную прямую, параллельную оси ординат ($Oy$) и проходящую через точку с абсциссой $x = -\frac{C}{A}$.
Поскольку в обоих возможных случаях уравнение описывает прямую, утверждение доказано.
Ответ: Уравнение $Ax + By + C = 0$, где $A$ и $B$ не равны нулю одновременно, всегда можно привести к виду $y=kx+m$ (если $B \neq 0$) или к виду $x=c$ (если $B=0$ и $A \neq 0$), которые являются уравнениями прямой, что и требовалось доказать.

б) Общее уравнение окружности с центром в точке $(a; b)$ и радиусом $R$ имеет вид:
$(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$
Если раскрыть скобки в этом уравнении, мы получим:
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2 = R^2$
Приведя его к общему виду, получим:
$x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2 + b^2 - R^2) = 0$
Ключевыми особенностями уравнения окружности являются:
1. Коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ равны (и не равны нулю).
2. Отсутствует член, содержащий произведение переменных $xy$.
Теперь рассмотрим данное в задаче уравнение: $x^2 - xy - 2 = 0$.
В этом уравнении присутствует член $-xy$. Как было показано выше, в общем уравнении окружности такой член отсутствует. Кроме того, в данном уравнении отсутствует член $y^2$. По этим причинам данное уравнение не может задавать окружность.
Ответ: Уравнение $x^2 - xy - 2 = 0$ не является уравнением окружности, так как общее уравнение окружности не содержит члена с произведением переменных $xy$, а также требует наличия члена $y^2$ с тем же коэффициентом, что и у $x^2$.

1384 Найдите точки пересечения двух окружностей, заданных уравнениями (x − 1)² + (у − 2)² = 4 и x² + у² = 1, и вычислите длину их общей хорды.

Для нахождения точек пересечения двух окружностей необходимо решить систему уравнений, которыми они заданы:

$\begin{cases} (x-1)^2 + (y-2)^2 = 4 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$

Раскроем скобки в первом уравнении:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 4y + 4 = 4$

Перегруппируем слагаемые:

$(x^2 + y^2) - 2x - 4y + 5 = 4$

Воспользуемся вторым уравнением системы, $x^2 + y^2 = 1$, и подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$1 - 2x - 4y + 5 = 4$

$6 - 2x - 4y = 4$

$-2x - 4y = 4 - 6$

$-2x - 4y = -2$

Разделим обе части уравнения на $-2$:

$x + 2y = 1$

Полученное линейное уравнение является уравнением прямой, проходящей через точки пересечения окружностей (это их радикальная ось). Теперь задача сводится к нахождению точек пересечения этой прямой и одной из окружностей (выберем вторую, так как ее уравнение проще):

$\begin{cases} x + 2y = 1 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$:

$x = 1 - 2y$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$(1 - 2y)^2 + y^2 = 1$

$1 - 4y + 4y^2 + y^2 = 1$

$5y^2 - 4y = 0$

Вынесем $y$ за скобку:

$y(5y - 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня:

$y_1 = 0$

$5y_2 - 4 = 0 \implies y_2 = \frac{4}{5}$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого из найденных $y$, используя формулу $x = 1 - 2y$:

При $y_1 = 0$, $x_1 = 1 - 2(0) = 1$.

При $y_2 = \frac{4}{5}$, $x_2 = 1 - 2\left(\frac{4}{5}\right) = 1 - \frac{8}{5} = \frac{5-8}{5} = -\frac{3}{5}$.

Таким образом, мы нашли две точки пересечения: $A(1, 0)$ и $B\left(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right)$.

Далее, вычислим длину общей хорды. Общая хорда — это отрезок, соединяющий точки пересечения $A$ и $B$. Длину этого отрезка можно найти по формуле расстояния между двумя точками:

$L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$L = \sqrt{\left(-\frac{3}{5} - 1\right)^2 + \left(\frac{4}{5} - 0\right)^2} = \sqrt{\left(-\frac{8}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2}$

$L = \sqrt{\frac{64}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{80}{25}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 5}{25}} = \frac{\sqrt{16}\sqrt{5}}{\sqrt{25}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$

Ответ: точки пересечения $(1, 0)$ и $(-\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$; длина общей хорды $\frac{4\sqrt{5}}{5}$.

1385 Даны три точки A, B, C и три числа α, β, γ. Найдите множество всех точек M, для каждой из которых сумма αAM² + βВМ² + γСМ² имеет постоянное значение, если:
а) α + β + γ ≠ 0;
б) α + β + γ = 0.

а) $\alpha + \beta + \gamma \ne 0$

Пусть искомое множество точек $M$ определяется уравнением $\alpha AM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2 = k$, где $k$ — некоторая константа.

Обозначим сумму коэффициентов $S = \alpha + \beta + \gamma$. По условию этого подпункта, $S \ne 0$. Введем точку $P$ — барицентр (или центр масс) системы точек $A, B, C$ с массами $\alpha, \beta, \gamma$ соответственно. Положение точки $P$ определяется векторным равенством $\alpha \vec{PA} + \beta \vec{PB} + \gamma \vec{PC} = \vec{0}$. Точка $P$ имеет постоянное положение, так как оно зависит только от данных точек $A, B, C$ и чисел $\alpha, \beta, \gamma$.

Воспользуемся обобщенной теоремой Лейбница (формулой для скалярной функции Лежандра), которая связывает данную сумму с расстоянием до барицентра. Для любой точки $M$ справедливо равенство:

$\alpha AM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2 = (\alpha + \beta + \gamma)PM^2 + (\alpha PA^2 + \beta PB^2 + \gamma PC^2)$

Подставим известные нам значения. Левая часть равна константе $k$. Сумма $\alpha + \beta + \gamma = S$. Выражение $(\alpha PA^2 + \beta PB^2 + \gamma PC^2)$ также является константой, так как точки $A, B, C, P$ и числа $\alpha, \beta, \gamma$ фиксированы. Обозначим эту константу $C_P$.

Получаем уравнение: $k = S \cdot PM^2 + C_P$.

Выразим квадрат расстояния $PM^2$:

$PM^2 = \frac{k - C_P}{S}$

Правая часть этого уравнения — константа. Обозначим ее $R^2$. Уравнение $PM^2 = R^2$ задает множество точек $M$, удаленных от фиксированной точки $P$ на фиксированное расстояние $R = \sqrt{R^2}$. В зависимости от значения константы $k$, величина $R^2$ может быть положительной, нулевой или отрицательной. Соответственно, искомое множество точек является сферой, одной точкой $P$ или пустым множеством. В общем случае это множество является сферой.

Ответ: Множество точек $M$ является сферой (в вырожденных случаях — точкой или пустым множеством), центр которой — барицентр точек $A, B, C$ с массами $\alpha, \beta, \gamma$.

б) $\alpha + \beta + \gamma = 0$

В этом случае подход, использованный в пункте а), неприменим, так как он привел бы к делению на ноль. Используем векторный метод. Пусть $O$ — произвольное начало координат, а $\vec{m}, \vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ — радиус-векторы точек $M, A, B, C$ соответственно. Тогда квадрат расстояния $AM^2$ можно записать как $AM^2 = |\vec{m} - \vec{a}|^2 = |\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{a} + |\vec{a}|^2$.

Запишем исходное условие $\alpha AM^2 + \beta BM^2 + \gamma CM^2 = k$ в векторной форме:

$\alpha (|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{a} + |\vec{a}|^2) + \beta (|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{b} + |\vec{b}|^2) + \gamma (|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot\vec{c} + |\vec{c}|^2) = k$

Сгруппируем слагаемые:

$(\alpha+\beta+\gamma)|\vec{m}|^2 - 2\vec{m}\cdot(\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}) + (\alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2) = k$

По условию $\alpha+\beta+\gamma=0$, поэтому первое слагаемое $(\alpha+\beta+\gamma)|\vec{m}|^2$ обращается в ноль. Уравнение упрощается:

$-2\vec{m}\cdot(\alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}) + (\alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2) = k$

Обозначим постоянный вектор $\vec{n} = \alpha\vec{a} + \beta\vec{b} + \gamma\vec{c}$ и постоянную скалярную величину $C_0 = \alpha|\vec{a}|^2 + \beta|\vec{b}|^2 + \gamma|\vec{c}|^2$. Тогда уравнение принимает вид:

$-2\vec{m}\cdot\vec{n} + C_0 = k$

или

$\vec{m}\cdot\vec{n} = \frac{C_0 - k}{2}$

Это уравнение задает плоскость, перпендикулярную вектору $\vec{n}$.

В вырожденном случае, когда $\vec{n}=\vec{0}$ (что возможно, если точки $A, B, C$ коллинеарны и коэффициенты $\alpha, \beta, \gamma$ находятся в определенном соотношении), уравнение превращается в $0 = C_0 - k$. Тогда, если константа $k$ такова, что $k = C_0$, решением является все пространство. Если же $k \ne C_0$, — пустое множество. В общем (невырожденном) случае искомое множество точек является плоскостью.

Ответ: Множество точек $M$ является плоскостью (в вырожденных случаях — всем пространством или пустым множеством), перпендикулярной вектору $\vec{n} = \alpha\vec{OA} + \beta\vec{OB} + \gamma\vec{OC}$, где $O$ — произвольная точка (начало координат).

1386 Даны прямая a и точка А, не лежащая на ней. Для каждой точки М₁ прямой а на луче AM₁ взята такая точка M, что AM₁ ⋅ AM = k, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек M.

Пусть $P$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $a$. Расстояние от точки $A$ до прямой $a$ обозначим через $h$, то есть $AP = h$.

Рассмотрим точку $D$ на луче $AP$ такую, что $AP \cdot AD = k$. Так как $AP = h$, то $h \cdot AD = k$, откуда $AD = \frac{k}{h}$. Эта точка $D$ является фиксированной, так как $A$, $P$ и $k$ заданы.

Пусть $M_1$ — произвольная точка на прямой $a$, а $M$ — соответствующая точка на луче $AM_1$, для которой выполняется условие $AM_1 \cdot AM = k$.

Мы можем переписать это условие, используя точку $D$:$AM_1 \cdot AM = AP \cdot AD$

Из этого равенства следует пропорция:$\frac{AM}{AP} = \frac{AD}{AM_1}$

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AMD$ и $\triangle APM_1$. У этих треугольников общий угол $\angle DAM = \angle PAM_1$. Кроме того, стороны, образующие этот угол, пропорциональны, как мы показали выше. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle AMD \sim \triangle APM_1$.

Из подобия треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AMD = \angle APM_1$.

По построению, $AP$ является перпендикуляром к прямой $a$, на которой лежит отрезок $PM_1$. Значит, угол $\angle APM_1$ — прямой, то есть $\angle APM_1 = 90^\circ$.

Следовательно, $\angle AMD = 90^\circ$. Это означает, что точка $M$ лежит на окружности, построенной на отрезке $AD$ как на диаметре.

Это рассуждение верно для любой точки $M_1$ на прямой $a$. Когда точка $M_1$ пробегает всю прямую $a$, луч $AM_1$ описывает все направления из точки $A$ (кроме направления, противоположного лучу $AP$), и точка $M$ пробегает все точки построенной окружности.

Заметим, что точка $A$ не принадлежит искомому множеству. Если бы $M=A$, то $AM=0$, что противоречит условию $AM \cdot AM_1 = k > 0$. Точка $A$ является предельной для множества точек $M$, когда точка $M_1$ уходит в бесконечность по прямой $a$.

Ответ: Искомое множество точек $M$ — это окружность, проходящая через точку $A$, с центром на прямой, перпендикулярной прямой $a$ и проходящей через $A$. Диаметр этой окружности, исходящий из точки $A$, равен $\frac{k}{h}$, где $h$ — расстояние от точки $A$ до прямой $a$. Сама точка $A$ исключается из этого множества.

1387 Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой точки M₁ окружности на луче OM₁ взята такая точка M, что OM = k ⋅ OM₁, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек M.

Пусть данная окружность, назовем её $\omega_1$, имеет центр в точке $C_1$ и радиус $R_1$. Точка $O$ не лежит на этой окружности. Для каждой точки $M_1$, принадлежащей окружности $\omega_1$, на луче $OM_1$ строится точка $M$ такая, что выполняется соотношение $OM = k \cdot OM_1$, где $k$ — данное положительное число.

Данное условие означает, что каждая точка $M$ является образом соответствующей точки $M_1$ при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$. Поскольку $k>0$, гомотетия является прямой (то есть сохраняет направление от центра). Искомое множество всех точек $M$ — это образ всей окружности $\omega_1$ при этом преобразовании.

Одним из фундаментальных свойств гомотетии является то, что она преобразует окружность в окружность. Следовательно, искомое множество точек $M$ также является окружностью. Обозначим эту новую окружность как $\omega$. Чтобы полностью определить окружность $\omega$, нам нужно найти её центр $C$ и радиус $R$.

Центр $C$ новой окружности $\omega$ является образом центра $C_1$ исходной окружности $\omega_1$ при той же гомотетии. Это значит, что точка $C$ лежит на луче $OC_1$ и её расстояние от центра гомотетии $O$ равно $OC = k \cdot OC_1$. В векторной форме это записывается как $\vec{OC} = k \cdot \vec{OC_1}$.

Радиус $R$ новой окружности $\omega$ равен произведению радиуса $R_1$ исходной окружности $\omega_1$ на коэффициент гомотетии. Так как $k$ — положительное число, радиус будет $R = k \cdot R_1$.

Таким образом, множество всех точек $M$ есть окружность $\omega$ с центром в точке $C$ и радиусом $R$, где $C$ — точка на луче $OC_1$ такая, что $OC = k \cdot OC_1$, а $R = k \cdot R_1$.

Ответ: Множество всех точек $M$ — это окружность, гомотетичная данной окружности относительно центра $O$ с коэффициентом $k$. Если исходная окружность имеет центр $C_1$ и радиус $R_1$, то искомая окружность имеет центр $C$, лежащий на луче $OC_1$ и удовлетворяющий условию $OC = k \cdot OC_1$, и радиус $R = k \cdot R_1$.

1388 Пусть A и B — данные точки, k — данное положительное число, не равное 1.

а) Докажите, что множество всех точек M, удовлетворяющих условию AM = kBM, есть окружность (окружность Аполлония).

б) Докажите, что эта окружность пересекается с любой окружностью, проходящей через точки A и B, так, что их радиусы, проведённые в точку пересечения, взаимно перпендикулярны.

Пусть $M$ — произвольная точка, удовлетворяющая условию $AM = k \cdot BM$, где $k$ — данное положительное число, не равное 1. Перепишем это условие в виде отношения расстояний: $\frac{AM}{BM} = k$.

Рассмотрим прямую, проходящую через точки $A$ и $B$. Поскольку $k \neq 1$, на этой прямой существуют ровно две точки, $C$ и $D$, которые делят отрезок $AB$ в отношении $k$.
1. Точка $C$ делит отрезок $AB$ внутренним образом так, что $\frac{AC}{CB} = k$.
2. Точка $D$ делит отрезок $AB$ внешним образом так, что $\frac{AD}{DB} = k$.

Рассмотрим треугольник $\triangle AMB$ для любой точки $M$, не лежащей на прямой $AB$. Из условия $\frac{AM}{BM} = \frac{AC}{CB} (=k)$, по теореме, обратной теореме о биссектрисе угла треугольника, следует, что луч $MC$ является биссектрисой внутреннего угла $\angle AMB$.

Аналогично, из условия $\frac{AM}{BM} = \frac{AD}{DB} (=k)$, по теореме, обратной теореме о биссектрисе внешнего угла треугольника, следует, что луч $MD$ является биссектрисой внешнего угла при вершине $M$ треугольника $\triangle AMB$.

Известно, что биссектрисы внутреннего и смежного с ним внешнего углов треугольника взаимно перпендикулярны. Следовательно, $\angle CMD = 90^\circ$.

Геометрическое место точек $M$, из которых отрезок $CD$ виден под прямым углом, есть окружность, построенная на отрезке $CD$ как на диаметре. Точки $C$ и $D$ также принадлежат этому множеству, так как они удовлетворяют исходному условию и лежат на данной окружности (как концы диаметра).

Таким образом, множество всех точек $M$, удовлетворяющих данному условию, является окружностью, которая известна как окружность Аполлония. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Пусть $\Omega_k$ — это окружность Аполлония из пункта а), с центром $O_k$ и радиусом $R_k$. Как было показано, центр $O_k$ лежит на прямой $AB$.

Пусть $\Omega$ — произвольная окружность, проходящая через точки $A$ и $B$. Её центр $O$ должен лежать на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$.

Пусть $M$ — точка пересечения окружностей $\Omega_k$ и $\Omega$. Для доказательства того, что окружности пересекаются под прямым углом, необходимо показать, что их радиусы, проведённые в точку пересечения $M$, взаимно перпендикулярны, то есть $O_kM \perp OM$.

Для удобства вычислений введём систему координат. Поместим начало координат в середину отрезка $AB$. Пусть ось $Ox$ проходит через точки $A$ и $B$. Тогда координаты точек будут $A(-c, 0)$ и $B(c, 0)$ для некоторого $c > 0$.

Центр $O$ окружности $\Omega$ лежит на оси $Oy$ (серединном перпендикуляре к $AB$), поэтому его координаты $O(0, y_0)$. Квадрат радиуса $R$ этой окружности равен квадрату расстояния от $O$ до $A$: $R^2 = OA^2 = (-c - 0)^2 + (0 - y_0)^2 = c^2 + y_0^2$. Уравнение окружности $\Omega$ имеет вид: $x^2 + (y - y_0)^2 = c^2 + y_0^2$, что равносильно $x^2 + y^2 - 2y_0y - c^2 = 0$.

Окружность Аполлония $\Omega_k$ задаётся условием $AM^2 = k^2 \cdot BM^2$. В координатах это выглядит так: $(x+c)^2 + y^2 = k^2((x-c)^2 + y^2)$. Раскроем скобки и сгруппируем члены: $(1-k^2)x^2 + (1-k^2)y^2 + 2c(1+k^2)x + c^2(1-k^2) = 0$. Так как $k \neq 1$, мы можем разделить всё уравнение на $(1-k^2)$, получив: $x^2 + y^2 - \frac{2c(k^2+1)}{k^2-1}x + c^2 = 0$.

Это уравнение окружности с центром на оси $Ox$. Координаты центра $O_k$ равны $(x_k, 0)$, где $x_k = \frac{c(k^2+1)}{k^2-1}$. Квадрат радиуса $R_k^2$ можно найти, выделив полный квадрат: $R_k^2 = x_k^2 - c^2 = \left(\frac{c(k^2+1)}{k^2-1}\right)^2 - c^2 = c^2 \frac{(k^2+1)^2 - (k^2-1)^2}{(k^2-1)^2} = c^2 \frac{4k^2}{(k^2-1)^2} = \left(\frac{2kc}{k^2-1}\right)^2$.

Две окружности пересекаются ортогонально (под прямым углом), если квадрат расстояния между их центрами равен сумме квадратов их радиусов. Проверим это условие для $\Omega_k$ и $\Omega$. Расстояние $d$ между центрами $O_k(x_k, 0)$ и $O(0, y_0)$ вычисляется по формуле: $d^2 = (x_k - 0)^2 + (0 - y_0)^2 = x_k^2 + y_0^2$.

Мы должны доказать, что $d^2 = R_k^2 + R^2$. Подставим найденные выражения:
$R_k^2 + R^2 = (x_k^2 - c^2) + (c^2 + y_0^2) = x_k^2 + y_0^2$.
Мы видим, что $R_k^2 + R^2 = d^2$. Это и есть условие ортогональности двух окружностей.

Поскольку квадрат расстояния между центрами равен сумме квадратов радиусов, то по теореме, обратной теореме Пифагора, для треугольника $\triangle O_kOM$ угол $\angle O_kMO$ является прямым. Это означает, что радиусы $O_kM$ и $OM$ взаимно перпендикулярны. Следовательно, окружности пересекаются под прямым углом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.