Номер 1381, страница 360 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1381, страница 360.

1381 Найдите координаты центра тяжести системы трёх масс m₁, m₂ и m₃, сосредоточенных соответственно в точках A₁ (x₁; y₁), А₂ (х₂; у₂), А₃ (x₃; у₃).

Центр тяжести (или центр масс) системы материальных точек определяется как точка, координаты которой являются средневзвешенными значениями координат этих точек. В качестве весов при усреднении используются массы соответствующих точек.

Рассмотрим систему из трёх масс $m_1, m_2, m_3$, которые сосредоточены в точках $A_1(x_1; y_1)$, $A_2(x_2; y_2)$ и $A_3(x_3; y_3)$ соответственно. Пусть $C(x_c; y_c)$ — искомый центр тяжести.

Координаты центра тяжести вычисляются для каждой оси независимо.

Абсцисса центра тяжести $x_c$ равна сумме произведений масс на соответствующие абсциссы, деленной на общую массу системы:
$x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$

Аналогично, ордината центра тяжести $y_c$ равна сумме произведений масс на соответствующие ординаты, деленной на общую массу системы:
$y_c = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3}$

В этих формулах числитель представляет собой статический момент системы масс относительно соответствующей оси, а знаменатель $M = m_1 + m_2 + m_3$ — это общая масса системы.

Ответ: $x_c = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2 + m_3 x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$, $y_c = \frac{m_1 y_1 + m_2 y_2 + m_3 y_3}{m_1 + m_2 + m_3}$.