Номер 1377, страница 359 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1377, страница 359.

1377 Даны две точки A (x₁; у₁) и B (х₂; у₂). Докажите, что координаты (x; у) точки С, делящей отрезок AB в отношении λ (т. е. ACCB = λ), выражаются формулами x = x₁ + λx₂1 + λ, y = x₁ + λy₂1 + λ.

Для доказательства данной теоремы воспользуемся векторным методом. Пусть $O$ — начало координат. Тогда точки $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$ и $C(x; y)$ можно представить соответствующими радиус-векторами $\vec{OA} = \{x_1; y_1\}$, $\vec{OB} = \{x_2; y_2\}$ и $\vec{OC} = \{x; y\}$.

По условию задачи точка $C$ делит отрезок $AB$ в отношении $\lambda$, то есть выполняется равенство $\frac{AC}{CB} = \lambda$. Так как точка $C$ лежит на отрезке $AB$, векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ коллинеарны и направлены в одну и ту же сторону (сонаправлены). Это соотношение можно выразить через векторное равенство:

$\vec{AC} = \lambda \cdot \vec{CB}$

Теперь выразим векторы $\vec{AC}$ и $\vec{CB}$ через радиус-векторы их конечных и начальных точек:

$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$

$\vec{CB} = \vec{OB} - \vec{OC}$

Подставим эти выражения в наше основное векторное равенство:

$\vec{OC} - \vec{OA} = \lambda (\vec{OB} - \vec{OC})$

Далее, решим это уравнение относительно вектора $\vec{OC}$:

$\vec{OC} - \vec{OA} = \lambda \vec{OB} - \lambda \vec{OC}$

$\vec{OC} + \lambda \vec{OC} = \vec{OA} + \lambda \vec{OB}$

$(1 + \lambda) \vec{OC} = \vec{OA} + \lambda \vec{OB}$

$\vec{OC} = \frac{\vec{OA} + \lambda \vec{OB}}{1 + \lambda}$

Полученное векторное равенство справедливо и для координат векторов. Запишем его в координатной форме, подставив координаты векторов $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$:

$\{x; y\} = \frac{\{x_1; y_1\} + \lambda \{x_2; y_2\}}{1 + \lambda} = \frac{\{x_1 + \lambda x_2; y_1 + \lambda y_2\}}{1 + \lambda} = \left\{\frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}; \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}\right\}$

Из этого следует, что соответствующие координаты равны. Таким образом, мы получаем искомые формулы:

$x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$

$y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Координаты точки $C(x;y)$, делящей отрезок $AB$ в отношении $\lambda$, выражаются формулами $x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}$ и $y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}$.