Номер 1378, страница 360 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1378, страница 360.

1378 Из физики известно, что центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения медиан. Найдите координаты центра тяжести такой пластинки, если координаты её вершин равны: (х₁; у₁), (x₂; у₂), (х₃; у₃).

Согласно условию задачи, центр тяжести однородной треугольной пластинки находится в точке пересечения ее медиан. Нам необходимо найти координаты этой точки, зная координаты вершин треугольника: $(x_1; y_1)$, $(x_2; y_2)$, и $(x_3; y_3)$.

Обозначим вершины треугольника как $A(x_1; y_1)$, $B(x_2; y_2)$ и $C(x_3; y_3)$.

Рассмотрим медиану, проведенную из вершины $A$ к середине противолежащей стороны $BC$. Пусть $M_1$ — середина стороны $BC$. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов.

Координаты точки $M_1$ будут:

$x_{M_1} = \frac{x_2 + x_3}{2}$

$y_{M_1} = \frac{y_2 + y_3}{2}$

Таким образом, точка $M_1$ имеет координаты $(\frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2})$.

Из геометрии известно, что точка пересечения медиан (которую называют центроидом треугольника) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Обозначим центр тяжести как точку $O(x_O; y_O)$. Эта точка делит медиану $AM_1$ так, что отношение $AO$ к $OM_1$ равно $2:1$.

Воспользуемся формулой для нахождения координат точки, делящей отрезок в заданном отношении. Если точка $P(x; y)$ делит отрезок с концами в точках $P_1(x_a; y_a)$ и $P_2(x_b; y_b)$ в отношении $m:n$, то ее координаты вычисляются по формулам:

$x = \frac{n \cdot x_a + m \cdot x_b}{m + n}$

$y = \frac{n \cdot y_a + m \cdot y_b}{m + n}$

В нашем случае точка $O$ делит отрезок $AM_1$ в отношении $m:n = 2:1$. Координаты точки $A$ — это $(x_1; y_1)$, а координаты точки $M_1$ — это $(\frac{x_2 + x_3}{2}; \frac{y_2 + y_3}{2})$.

Подставим эти значения в формулы для вычисления координат $x_O$ и $y_O$:

$x_O = \frac{1 \cdot x_1 + 2 \cdot (\frac{x_2 + x_3}{2})}{1 + 2} = \frac{x_1 + (x_2 + x_3)}{3} = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$

$y_O = \frac{1 \cdot y_1 + 2 \cdot (\frac{y_2 + y_3}{2})}{1 + 2} = \frac{y_1 + (y_2 + y_3)}{3} = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$

Таким образом, мы получили, что координаты центра тяжести треугольной пластинки являются средним арифметическим соответствующих координат ее вершин.

Ответ: $(\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}; \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$