Номер 1373, страница 359 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 10. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1373, страница 359.

1373 Используя векторы, докажите, что середины диагоналей четырёхугольника и точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон, лежат на одной прямой.

Пусть задан произвольный (в том числе невыпуклый и пространственный) четырёхугольник $ABCD$. Введём радиус-векторы его вершин относительно некоторого начала координат $O$: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

1. Найдём радиус-векторы середин диагоналей.
Пусть $M$ — середина диагонали $AC$. Радиус-вектор точки $M$ равен полусумме радиус-векторов её концов: $\vec{m} = \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$.
Пусть $N$ — середина диагонали $BD$. Аналогично, её радиус-вектор: $\vec{n} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$.

2. Найдём радиус-вектор точки пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон.
Пусть $K$, $L$, $P$, $Q$ — середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, — это $KP$ и $LQ$.
Согласно теореме Вариньона, четырёхугольник $KLPQ$ является параллелограммом. Его диагонали $KP$ и $LQ$ пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Обозначим эту точку пересечения как $G$.
Найдём радиус-вектор точки $G$, которая является серединой, например, отрезка $KP$. Для этого сначала найдём радиус-векторы точек $K$ и $P$: $\vec{k} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$ (середина $AB$);
$\vec{p} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$ (середина $CD$).
Теперь радиус-вектор точки $G$ как середины $KP$: $\vec{g} = \frac{\vec{k} + \vec{p}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} + \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$.

3. Докажем, что точки $M$, $N$ и $G$ лежат на одной прямой.
Чтобы доказать, что три точки лежат на одной прямой, достаточно показать, что одна из них совпадает с некоторой точкой, по определению лежащей на отрезке, соединяющем две другие. Рассмотрим середину отрезка $MN$, соединяющего середины диагоналей. Найдём её радиус-вектор: $\frac{\vec{m} + \vec{n}}{2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} + \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2} \right) = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$.
Этот радиус-вектор в точности совпадает с радиус-вектором $\vec{g}$.

Поскольку радиус-векторы совпадают, точка $G$ (точка пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон) и середина отрезка $MN$ — это одна и та же точка. Факт того, что $G$ является серединой отрезка $MN$, означает, что точки $M$, $G$ и $N$ лежат на одной прямой.

Ответ: Доказательство основано на том, что радиус-вектор точки пересечения отрезков, соединяющих середины противоположных сторон ($G$), и радиус-вектор середины отрезка, соединяющего середины диагоналей ($M$ и $N$), выражаются одной и той же формулой: $\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}}{4}$, где $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ — радиус-векторы вершин четырёхугольника. Это означает, что точка $G$ является серединой отрезка $MN$, и, следовательно, все три точки — середины диагоналей и точка пересечения упомянутых отрезков — лежат на одной прямой.