номер 1368 (страница 357) гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов, Кадомцев

Решение

1. Докажем, что для любых чисел k, l и любого вектора а справедливо равенство (kl) a = k (la). Если а = 0, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть a ≠ 0. Имеем | (kl) a | = | kl | | a | =   = | k | | l | | a | = | k | | la | = | k (la) |.

Далее, если kl ≥ 0, то (kl) a ↑↑ a и k (la) ↑↑ a; если же kl < 0, то (kl) а ↑↓ a и k (la) ↑↓ a. И в том и в другом случае (kl) a ↑↑ k (lа). Следовательно, (kl) a = k (la).

2. Докажем, что для любого числа k и любых векторов a и b справедливо равенство k (a + b) = ka + kb.

Если k = 0, то справедливость этого равенства очевидна.

Пусть k ≠ 0.

Рассмотрим случай, когда векторы a и b не коллинеарны (случай а || b рассмотрите самостоятельно). Отложим от какой-нибудь точки О векторы OA₁ = a и ОА = kа, а от точек A₁ и А — векторы A₁B₁ = b и AB = kb (рис. 420, a, б). Треугольники ОА₁В₁ и ОAB подобны с коэффициентом подобия | k |. Следовательно, OB = kОВ₁ = k (а + b). С другой стороны, ОВ = OA + AB = ka + kb. Итак, k (a + b) = ka + kb.

3. Докажем, что для любых чисел k, l и любого вектора а справедливо равенство (k + l) a = ka + la. Если k = l = 0, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть хотя бы одно из чисел k, l отлично от нуля. Для определённости будем считать, что | k | ≥ | l | и, следовательно, k ≠ 0 и | lk | ≤ 1.

Рассмотрим вектор а + lk а. Очевидно, (а + lk а) ↑↑ а. Далее, | a + lka | = | a | + lk | a | = 1 + lk| a |.

Следовательно, согласно определению произведения вектора на число, a + lka = 1 + lka. Умножая обе части этого равенства на k, получим, что справедливо равенство ka + la = (k + l) a.