Номер 1368, страница 357 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 10. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1368, страница 357.

1368 Докажите утверждения об основных свойствах умножения вектора на число (п. 91).

Решение

1. Докажем, что для любых чисел k, l и любого вектора $\overrightarrow{a}$ справедливо равенство $\left(kl\right)\overrightarrow{a}=k\left(l\overrightarrow{a}\right).$ Если $\overrightarrow{а}=\overrightarrow{0},$ то справедливость этого равенства очевидна. Пусть $\overrightarrow{а}\ne \overrightarrow{0},$ Имеем $\left|\left(kl\right)\overrightarrow{a}\right|=\left|kl\right|\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|\left|l\right|\left|\overrightarrow{a}\right|=\left|k\right|\left|l\overrightarrow{a}\right|=\left|k\left(l\overrightarrow{a}\right)\right|.$

Далее, если kl≥0, то $\left(kl\right)\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow \overrightarrow{a} \text{и} k\left(l\overrightarrow{a}\right)\uparrow \uparrow \overrightarrow{a};$ если же kl<0, то $\left(kl\right)\overrightarrow{a}\uparrow \downarrow \overrightarrow{a} \text{и} k\left(l\overrightarrow{a}\right)\uparrow \downarrow \overrightarrow{a}.$ И в том и в другом случае $\left(kl\right)\overrightarrow{a}\uparrow \uparrow k\left(l\overrightarrow{a}\right).$ Следовательно, $\left(kl\right)\overrightarrow{a}=k\left(l\overrightarrow{a}\right).$

2. Докажем, что для любого числа k и любых векторов $\overrightarrow{a} \text{и} \overrightarrow{b}$ справедливо равенство $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}.$

Если k = 0, то справедливость этого равенства очевидна.

Пусть k ≠ 0.

Рассмотрим случай, когда векторы $\overrightarrow{a} \text{и} \overrightarrow{b}$ не коллинеарны (случай $\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}$ рассмотрите самостоятельно). Отложим от какой-нибудь точки О векторы $\overrightarrow{O{A}_1}=\overrightarrow{a}$ и $\overrightarrow{OA}=k\overrightarrow{a}$ а от точек A₁ и А — векторы $\overrightarrow{A_1{B}_1}=\overrightarrow{b}$ и $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{b}$ (рис. 420, a, б). Треугольники ОА₁В₁ и ОAB подобны с коэффициентом подобия |k|. Следовательно, $\overrightarrow{OB}=k\overrightarrow{О{В}_1}=k(\overrightarrow{а}+\overrightarrow{b}).$ С другой стороны, $\overrightarrow{ОВ}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}.$ Итак, $k(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})=k\overrightarrow{a}+k\overrightarrow{b}.$

3. Докажем, что для любых чисел k, l и любого вектора $\overrightarrow{a}$ справедливо равенство $(k+l)\overrightarrow{a}=k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}.$ Если k=l=0, то справедливость этого равенства очевидна. Пусть хотя бы одно из чисел k, l отлично от нуля. Для определённости будем считать, что $\left|k\right|\ge \left|l\right|$ и, следовательно, $k\ne 0$ и $\left|\frac{l}{k}\right|\le 1.$

Рассмотрим вектор $\overrightarrow{а}+\frac{l}{k}\overrightarrow{а}.$ Очевидно, $\left(\overrightarrow{а}+\frac{l}{k}\overrightarrow{а}\right)\uparrow \uparrow \overrightarrow{a}.$ Далее, $\left|\overrightarrow{a}+\frac{l}{k}\overrightarrow{a}\right|=\left|\overrightarrow{a}\right|+\frac{l}{k}\left|\overrightarrow{a}\right|=\left(1+\frac{l}{k}\right)\left|\overrightarrow{a}\right|.$

Следовательно, согласно определению произведения вектора на число,$\overrightarrow{a}+\frac{l}{k}\overrightarrow{a}=\left(1+\frac{l}{k}\right)\overrightarrow{a}.$ Умножая обе части этого равенства на k, получим, что справедливо равенство $k\overrightarrow{a}+l\overrightarrow{a}=\left(k+l\right)\overrightarrow{a}.$

1. Доказательство свойства $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$ (сочетательный закон)

Докажем, что для любых чисел $k$, $l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$.

Если $\vec{a} = \vec{0}$ (нулевой вектор), то $(kl)\vec{0} = \vec{0}$ и $k(l\vec{0}) = k(\vec{0}) = \vec{0}$. Равенство очевидно верно.

Пусть $\vec{a} \neq \vec{0}$. Чтобы доказать равенство двух векторов, нужно показать, что их длины равны и они сонаправлены.

1) Длины векторов. По определению умножения вектора на число, длина вектора $(kl)\vec{a}$ равна:
$|(kl)\vec{a}| = |kl| \cdot |\vec{a}|$
Используя свойство модуля произведения чисел, $|kl| = |k| \cdot |l|$, получаем:
$|kl| \cdot |\vec{a}| = |k| \cdot |l| \cdot |\vec{a}| = |k| \cdot (|l| \cdot |\vec{a}|)$
Так как $|l| \cdot |\vec{a}| = |l\vec{a}|$, то итоговое выражение для длины равно:
$|k| \cdot |l\vec{a}| = |k(l\vec{a})|$
Таким образом, $|(kl)\vec{a}| = |k(l\vec{a})|$, то есть длины векторов равны.

2) Направления векторов.
Если $kl > 0$, то вектор $(kl)\vec{a}$ сонаправлен с вектором $\vec{a}$ (т.е. $(kl)\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{a}$). Направление вектора $k(l\vec{a})$ также совпадает с направлением $\vec{a}$. Это следует из того, что либо оба числа $k, l$ положительны (и направление вектора не меняется ни при умножении на $l$, ни при умножении на $k$), либо оба отрицательны (направление меняется на противоположное при умножении на $l$, а затем еще раз на противоположное при умножении на $k$, возвращаясь к исходному).
Если $kl < 0$, то вектор $(kl)\vec{a}$ противоположно направлен вектору $\vec{a}$ (т.е. $(kl)\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{a}$). Направление вектора $k(l\vec{a})$ также будет противоположно направлению $\vec{a}$, так как одно из чисел $k, l$ положительно, а другое отрицательно, что приводит к однократному изменению направления на противоположное.
Если $kl = 0$, то хотя бы одно из чисел $k$ или $l$ равно нулю, и обе части равенства превращаются в $\vec{0}$.
Во всех случаях векторы $(kl)\vec{a}$ и $k(l\vec{a})$ имеют одинаковое направление (сонаправлены).

Поскольку длины и направления векторов $(kl)\vec{a}$ и $k(l\vec{a})$ совпадают, эти векторы равны.

Ответ: Равенство $(kl)\vec{a} = k(l\vec{a})$ доказано.

2. Доказательство свойства $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a}+k\vec{b}$ (распределительный закон относительно сложения векторов)

Докажем, что для любого числа $k$ и любых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ справедливо равенство $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a}+k\vec{b}$.

Если $k=0$, равенство очевидно: $0 \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = \vec{0}$ и $0\vec{a}+0\vec{b} = \vec{0}+\vec{0} = \vec{0}$.

Если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны (и $k \neq 0$), то $\vec{b} = m\vec{a}$ для некоторого числа $m$. Тогда, используя уже доказанное свойство 1 и свойство 3 (которое будет доказано ниже), получаем:
$k(\vec{a}+\vec{b}) = k(\vec{a}+m\vec{a}) = k((1+m)\vec{a}) = (k(1+m))\vec{a} = (k+km)\vec{a} = k\vec{a} + (km)\vec{a} = k\vec{a} + k(m\vec{a}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.

Рассмотрим основной случай, когда векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны и $k \neq 0$. Построим геометрическую иллюстрацию (как на рис. 420 в учебнике).
1. Отложим от произвольной точки $O$ вектор $\vec{OA_1} = \vec{a}$.
2. От точки $A_1$ отложим вектор $\vec{A_1B_1} = \vec{b}$. По правилу треугольника, вектор $\vec{OB_1} = \vec{OA_1} + \vec{A_1B_1} = \vec{a}+\vec{b}$.
3. Теперь от точки $O$ отложим вектор $\vec{OA} = k\vec{a}$.
4. От точки $A$ отложим вектор $\vec{AB} = k\vec{b}$. По правилу треугольника, вектор $\vec{OB} = \vec{OA} + \vec{AB} = k\vec{a}+k\vec{b}$.

Докажем, что $\vec{OB} = k(\vec{a}+\vec{b})$. Для этого сравним треугольники $OA_1B_1$ и $OAB$.
По построению, $\vec{OA}=k\vec{OA_1}$ и $\vec{AB}=k\vec{A_1B_1}$. Это означает, что стороны $OA$ и $OA_1$ лежат на одной прямой, а стороны $AB$ и $A_1B_1$ параллельны.
Отношения длин сторон: $\frac{|\vec{OA}|}{|\vec{OA_1}|} = \frac{|k\vec{a}|}{|\vec{a}|} = |k|$ и $\frac{|\vec{AB}|}{|\vec{A_1B_1}|} = \frac{|k\vec{b}|}{|\vec{b}|} = |k|$.
Угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равен углу между векторами $k\vec{a}$ и $k\vec{b}$. Таким образом, углы $\angle OA_1B_1$ и $\angle OAB$ равны.
Следовательно, треугольники $OA_1B_1$ и $OAB$ подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Коэффициент подобия равен $|k|$.

Из подобия треугольников следует, что их третьи стороны также относятся с коэффициентом $|k|$: $|\vec{OB}| = |k||\vec{OB_1}|$. Кроме того, векторы $\vec{OB}$ и $\vec{OB_1}$ коллинеарны. Направление их будет совпадать при $k>0$ и будет противоположным при $k<0$. По определению умножения вектора на число, это означает, что $\vec{OB} = k\vec{OB_1}$.

Подставляя выражения для векторов, получаем:
С одной стороны, по построению: $\vec{OB} = k\vec{a} + k\vec{b}$.
С другой стороны, из подобия: $\vec{OB} = k\vec{OB_1} = k(\vec{a}+\vec{b})$.
Приравнивая правые части, получаем $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a}+k\vec{b}$.

Ответ: Равенство $k(\vec{a}+\vec{b}) = k\vec{a}+k\vec{b}$ доказано.

3. Доказательство свойства $(k+l)\vec{a} = k\vec{a}+l\vec{a}$ (распределительный закон относительно сложения чисел)

Докажем, что для любых чисел $k$, $l$ и любого вектора $\vec{a}$ справедливо равенство $(k+l)\vec{a} = k\vec{a}+l\vec{a}$.

Если $\vec{a} = \vec{0}$, равенство очевидно: $(k+l)\vec{0} = \vec{0}$ и $k\vec{0}+l\vec{0} = \vec{0}+\vec{0} = \vec{0}$.

Пусть $\vec{a} \neq \vec{0}$. Векторы $k\vec{a}$ и $l\vec{a}$ коллинеарны вектору $\vec{a}$, и их сумма $k\vec{a}+l\vec{a}$ также будет коллинеарна вектору $\vec{a}$. С другой стороны, вектор $(k+l)\vec{a}$ по определению коллинеарен $\vec{a}$. Таким образом, векторы в обеих частях равенства коллинеарны. Достаточно доказать равенство их длин и совпадение направлений.

Это можно сделать, рассмотрев случаи, когда $k$ и $l$ имеют одинаковые или разные знаки. Однако, можно провести доказательство и алгебраически, опираясь на уже доказанные свойства, как это предложено в учебнике.

Пусть $k \neq 0$. Воспользуемся вторым свойством (которое мы только что доказали) для выражения $k(\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a})$:
$k(\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}) = k\vec{a} + k(\frac{l}{k}\vec{a})$
По первому (сочетательному) свойству, второе слагаемое в правой части можно преобразовать:
$k(\frac{l}{k}\vec{a}) = (k \cdot \frac{l}{k})\vec{a} = l\vec{a}$
Таким образом, $k(\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}) = k\vec{a} + l\vec{a}$.

Теперь рассмотрим выражение в скобках в левой части: $\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}$. Это сумма двух коллинеарных векторов. По правилу сложения коллинеарных векторов:
$\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a} = 1 \cdot \vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a} = (1+\frac{l}{k})\vec{a}$
Подставим это обратно в левую часть нашего равенства:
$k(\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}) = k((1+\frac{l}{k})\vec{a})$
И снова применим первое свойство:
$k((1+\frac{l}{k})\vec{a}) = (k(1+\frac{l}{k}))\vec{a} = (k+k\frac{l}{k})\vec{a} = (k+l)\vec{a}$.

Итак, мы показали, что и левая, и правая части исходного выражения $k(\vec{a} + \frac{l}{k}\vec{a}) = k\vec{a} + l\vec{a}$ равны соответственно $(k+l)\vec{a}$ и $k\vec{a}+l\vec{a}$. Следовательно, $(k+l)\vec{a} = k\vec{a}+l\vec{a}$.
Если $k=0$, то свойство проверяется непосредственно: $(0+l)\vec{a} = l\vec{a}$ и $0\vec{a}+l\vec{a} = \vec{0}+l\vec{a} = l\vec{a}$.

Ответ: Равенство $(k+l)\vec{a} = k\vec{a}+l\vec{a}$ доказано.