Номер 1369, страница 359 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 10. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1369, страница 359.

1369 Даны четырёхугольник MNPQ и точка О. Что представляет собой данный четырёхугольник, если ON − OM = OP − OQ?

По правилу вычитания векторов, для любых трех точек A, B и O, разность векторов $\vec{OB} - \vec{OA}$ равна вектору $\vec{AB}$.

Применим это правило к левой части данного в условии равенства $\vec{ON} - \vec{OM} = \vec{OP} - \vec{OQ}$. Здесь точка O является началом отсчета, а точки M и N — концами векторов. Таким образом, разность $\vec{ON} - \vec{OM}$ — это вектор, соединяющий точку M с точкой N.

$\vec{ON} - \vec{OM} = \vec{MN}$

Аналогично, для правой части равенства, разность $\vec{OP} - \vec{OQ}$ представляет собой вектор, идущий от точки Q к точке P:

$\vec{OP} - \vec{OQ} = \vec{QP}$

Подставив эти выражения в исходное равенство, получаем эквивалентное ему равенство векторов:

$\vec{MN} = \vec{QP}$

Равенство векторов означает, что они имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление (то есть они коллинеарны и сонаправлены).

В четырехугольнике MNPQ стороны MN и QP являются противоположными. Из векторного равенства $\vec{MN} = \vec{QP}$ следует, что эти стороны параллельны ($MN \parallel QP$) и равны по длине ($|MN| = |QP|$).

Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник является параллелограммом.

Следовательно, четырехугольник MNPQ — это параллелограмм.

Ответ: Данный четырехугольник MNPQ является параллелограммом.