Номер 1362, страница 357 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1362, страница 357.

1362 На рисунке 418 АВСD — параллелограмм, P и Q — середины сторон АD и ВС. Докажите, что: а) при гомотетии с центром в точке D и k=2 точка K переходит в точку L; б) при гомотетии с центром в точке В и k=2 точка L переходит в точку K.

Для решения задачи определим сначала точное положение точек K и L на диагонали AC. Будем исходить из определения точек, показанных на рисунке, где K и L являются точками пересечения диагонали AC с отрезками CP и BQ соответственно.

1. Найдем положение точки K = CP ? AC.
Рассмотрим треугольники AKP и CKB.Так как ABCD — параллелограмм, то AD || BC и AD = BC.Поскольку P лежит на AD, то AP || BC.
Углы ?PAK и ?BCK равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.
Углы ?AKP и ?CKB равны как вертикальные.
Следовательно, треугольники AKP и CKB подобны по двум углам (?AKP ? ?CKB).
Из подобия следует соотношение сторон:$ \frac{AK}{CK} = \frac{AP}{CB} $По условию, P — середина AD, поэтому $ AP = \frac{1}{2}AD $. Также, в параллелограмме CB = AD.Подставим эти значения в пропорцию:$ \frac{AK}{CK} = \frac{\frac{1}{2}AD}{AD} = \frac{1}{2} $Отсюда $ CK = 2 \cdot AK $.
Так как точка K лежит на отрезке AC, то $ AC = AK + CK = AK + 2 \cdot AK = 3 \cdot AK $.Таким образом, $ AK = \frac{1}{3}AC $.

2. Найдем положение точки L = BQ ? AC.
Рассмотрим треугольники ALB и CLQ.Так как ABCD — параллелограмм, то AB || DC.Рассмотрим треугольники ADL и CQL.Так как AD || BC, а Q лежит на BC, то AD || CQ.
Углы ?DAL и ?QCL равны как накрест лежащие при параллельных прямых AD и BC и секущей AC.
Углы ?ALD и ?CLQ равны как вертикальные.
Следовательно, треугольники ADL и CQL подобны по двум углам (?ADL ? ?CQL).
Из подобия следует соотношение сторон:$ \frac{AL}{CL} = \frac{AD}{CQ} $По условию, Q — середина BC, поэтому $ CQ = \frac{1}{2}BC $. Также, в параллелограмме AD = BC.Подставим эти значения в пропорцию:$ \frac{AL}{CL} = \frac{AD}{\frac{1}{2}BC} = \frac{BC}{\frac{1}{2}BC} = 2 $Отсюда $ AL = 2 \cdot CL $.
Так как точка L лежит на отрезке AC, то $ AC = AL + CL = 2 \cdot CL + CL = 3 \cdot CL $.Таким образом, $ CL = \frac{1}{3}AC $, и $ AL = \frac{2}{3}AC $.

Теперь, зная точные положения точек K и L, проверим утверждения о гомотетии.

а)

Нужно доказать, что при гомотетии с центром в точке D и коэффициентом $ k=2 $ точка K переходит в точку L.По определению гомотетии, это означает, что должно выполняться векторное равенство: $ \vec{DL} = 2 \cdot \vec{DK} $.Выразим векторы $ \vec{DK} $ и $ \vec{DL} $ через базовые векторы $ \vec{DA} $ и $ \vec{DC} $.

Вектор $ \vec{AC} = \vec{DC} - \vec{DA} $.Из ранее найденного, $ \vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AC} = \frac{1}{3}(\vec{DC} - \vec{DA}) $.Тогда вектор $ \vec{DK} $ можно выразить как сумму векторов:$ \vec{DK} = \vec{DA} + \vec{AK} = \vec{DA} + \frac{1}{3}(\vec{DC} - \vec{DA}) = \vec{DA} - \frac{1}{3}\vec{DA} + \frac{1}{3}\vec{DC} = \frac{2}{3}\vec{DA} + \frac{1}{3}\vec{DC} $.

Аналогично для точки L. Из ранее найденного, $ \vec{AL} = \frac{2}{3}\vec{AC} = \frac{2}{3}(\vec{DC} - \vec{DA}) $.Тогда вектор $ \vec{DL} $ можно выразить как:$ \vec{DL} = \vec{DA} + \vec{AL} = \vec{DA} + \frac{2}{3}(\vec{DC} - \vec{DA}) = \vec{DA} - \frac{2}{3}\vec{DA} + \frac{2}{3}\vec{DC} = \frac{1}{3}\vec{DA} + \frac{2}{3}\vec{DC} $.

Теперь проверим условие гомотетии $ \vec{DL} = 2 \cdot \vec{DK} $:$ \frac{1}{3}\vec{DA} + \frac{2}{3}\vec{DC} = 2 \cdot (\frac{2}{3}\vec{DA} + \frac{1}{3}\vec{DC}) $$ \frac{1}{3}\vec{DA} + \frac{2}{3}\vec{DC} = \frac{4}{3}\vec{DA} + \frac{2}{3}\vec{DC} $Вычитая $ \frac{2}{3}\vec{DC} $ из обеих частей, получаем:$ \frac{1}{3}\vec{DA} = \frac{4}{3}\vec{DA} $Это равенство выполняется только если $ \vec{DA} = \vec{0} $, что невозможно, так как A и D — разные вершины параллелограмма.Следовательно, утверждение в пункте а) неверно.

Ответ: Утверждение неверно. Точка K при гомотетии с центром D и k=2 не переходит в точку L.

б)

Нужно доказать, что при гомотетии с центром в точке B и коэффициентом $ k=2 $ точка L переходит в точку K.По определению гомотетии, это означает, что должно выполняться векторное равенство: $ \vec{BK} = 2 \cdot \vec{BL} $.Выразим векторы $ \vec{BK} $ и $ \vec{BL} $ через базовые векторы $ \vec{BA} $ и $ \vec{BC} $.

Вектор $ \vec{AC} = \vec{BC} - \vec{BA} $.$ \vec{AK} = \frac{1}{3}\vec{AC} = \frac{1}{3}(\vec{BC} - \vec{BA}) $.Вектор $ \vec{BK} $ можно выразить как:$ \vec{BK} = \vec{BA} + \vec{AK} = \vec{BA} + \frac{1}{3}(\vec{BC} - \vec{BA}) = \vec{BA} - \frac{1}{3}\vec{BA} + \frac{1}{3}\vec{BC} = \frac{2}{3}\vec{BA} + \frac{1}{3}\vec{BC} $.

$ \vec{AL} = \frac{2}{3}\vec{AC} = \frac{2}{3}(\vec{BC} - \vec{BA}) $.Вектор $ \vec{BL} $ можно выразить как:$ \vec{BL} = \vec{BA} + \vec{AL} = \vec{BA} + \frac{2}{3}(\vec{BC} - \vec{BA}) = \vec{BA} - \frac{2}{3}\vec{BA} + \frac{2}{3}\vec{BC} = \frac{1}{3}\vec{BA} + \frac{2}{3}\vec{BC} $.

Теперь проверим условие гомотетии $ \vec{BK} = 2 \cdot \vec{BL} $:$ \frac{2}{3}\vec{BA} + \frac{1}{3}\vec{BC} = 2 \cdot (\frac{1}{3}\vec{BA} + \frac{2}{3}\vec{BC}) $$ \frac{2}{3}\vec{BA} + \frac{1}{3}\vec{BC} = \frac{2}{3}\vec{BA} + \frac{4}{3}\vec{BC} $Вычитая $ \frac{2}{3}\vec{BA} $ из обеих частей, получаем:$ \frac{1}{3}\vec{BC} = \frac{4}{3}\vec{BC} $Это равенство выполняется только если $ \vec{BC} = \vec{0} $, что невозможно, так как B и C — разные вершины параллелограмма.Следовательно, утверждение в пункте б) также неверно.

Ответ: Утверждение неверно. Точка L при гомотетии с центром B и k=2 не переходит в точку K.