Номер 1355, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1355, страница 356.

1355 Пусть центр гомотетии О лежит на данной окружности. Докажите, что данная окружность и та, в которую она переходит при гомотетии с центром в точке О, имеют в точке О общую касательную.

Пусть дана окружность $?$ с центром в точке $C$ и радиусом $r$. Пусть $O$ — центр гомотетии, и по условию задачи точка $O$ лежит на окружности $?$. Это означает, что расстояние от центра $C$ до точки $O$ равно радиусу: $OC = r$. Пусть $k$ — коэффициент гомотетии ($k \neq 0$).

При гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ окружность $?$ переходит в новую окружность $?'$. Найдем параметры окружности $?'$.

1. Центр новой окружности. Центр $C'$ окружности $?'$ является образом центра $C$ исходной окружности при данной гомотетии. По определению гомотетии, вектор $\vec{OC'}$ связан с вектором $\vec{OC}$ соотношением $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC}$. Из этого векторного равенства следует, что точки $O$, $C$ и $C'$ лежат на одной прямой.

2. Общая точка окружностей. Рассмотрим, в какую точку переходит точка $O$ при данной гомотетии. Так как $O$ является центром гомотетии, она является неподвижной точкой, то есть ее образ совпадает с ней самой. Поскольку точка $O$ по условию принадлежит исходной окружности $?$, ее образ (сама точка $O$) должен принадлежать образу окружности, то есть $?'$. Таким образом, точка $O$ является общей точкой окружностей $?$ и $?'$.

3. Касательная. Проведем касательную $t$ к окружности $?$ в точке $O$. По основному свойству касательной, она перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. Следовательно, прямая $t$ перпендикулярна радиусу $OC$, то есть $t \perp OC$.

Теперь необходимо доказать, что эта же прямая $t$ является касательной и к окружности $?'$ в точке $O$. Касательная к окружности $?'$ в точке $O$ должна быть перпендикулярна радиусу $OC'$.

Как мы установили в пункте 1, точки $O$, $C$ и $C'$ лежат на одной прямой. Это означает, что радиусы $OC$ и $OC'$ лежат на одной и той же прямой.

Поскольку прямая $t$ перпендикулярна прямой, содержащей отрезок $OC$, она также будет перпендикулярна и прямой, содержащей отрезок $OC'$. Таким образом, $t \perp OC'$.

Это означает, что прямая $t$ является касательной к окружности $?'$ в точке $O$. Так как $t$ является касательной к обеим окружностям в их общей точке $O$, она является их общей касательной. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Касательная к исходной окружности в центре гомотетии $O$ перпендикулярна радиусу $OC$. Так как центр новой окружности $C'$ лежит на прямой $OC$, эта же касательная перпендикулярна и радиусу $OC'$, а значит, является касательной и для новой окружности. Следовательно, окружности имеют общую касательную в точке $O$.