Номер 1349, страница 355 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1349, страница 355.

1349 Дан квадрат АВСD, площадь которого равна S. Постройте квадраты, площади которых равны: а) 14S; б) 19S; в) 3S.

а)

Пусть сторона данного квадрата `ABCD` равна `a`, тогда его площадь `S = a^2`. Требуется построить квадрат, площадь которого равна $S_1 = \frac{1}{4}S = \frac{1}{4}a^2$. Пусть сторона искомого квадрата равна $x$. Тогда $x^2 = \frac{1}{4}a^2$, откуда $x = \frac{a}{2}$. Таким образом, нам нужно построить квадрат со стороной, равной половине стороны исходного квадрата.

Построение:
1. Находим середину стороны `AB` квадрата `ABCD` и обозначаем ее точкой `M`. Длина отрезка `AM` равна $\frac{a}{2}$.
2. Аналогично находим середину смежной стороны `AD` и обозначаем ее точкой `N`.
3. Проводим через точку `M` прямую, параллельную стороне `AD`, и через точку `N` — прямую, параллельную стороне `AB`. Эти прямые пересекутся в точке `K`.
4. Полученный квадрат `AMKN` является искомым. Его сторона `AM` равна $\frac{a}{2}$, а площадь равна $(\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} = \frac{1}{4}S$.

Ответ: Искомый квадрат — это любой из четырех квадратов, полученных делением исходного квадрата отрезками, соединяющими середины его противоположных сторон.

б)

Площадь искомого квадрата $S_2 = \frac{1}{9}S = \frac{1}{9}a^2$. Если его сторона равна $x$, то $x^2 = \frac{1}{9}a^2$, откуда $x = \frac{a}{3}$. Задача сводится к построению квадрата со стороной, равной одной трети стороны исходного квадрата.

Построение:
1. Разделим сторону `AB` исходного квадрата на три равные части. Это можно сделать с помощью теоремы Фалеса. Для этого из точки `A` проводим произвольный луч, не лежащий на прямой `AB`, и откладываем на нем циркулем три равных отрезка произвольной длины: `AP_1 = P_1P_2 = P_2P_3`. Соединяем точку `P_3` с точкой `B`. Затем проводим через точки `P_1` и `P_2` прямые, параллельные `P_3B`. Эти прямые пересекут отрезок `AB` в точках `M_1` и `M_2`, разделив его на три равные части. Длина отрезка `AM_1` равна $\frac{a}{3}$.
2. Построим квадрат на стороне `AM_1`. Для этого можно аналогично разделить сторону `AD` на три части (получив точку `N_1` такую, что $AN_1 = \frac{a}{3}$) и достроить квадрат `AM_1KN_1`.

Ответ: Искомый квадрат — это любой из девяти квадратов, полученных делением исходного квадрата на 9 равных частей прямыми, параллельными его сторонам и делящими каждую сторону на три равные части.

в)

Площадь искомого квадрата $S_3 = 3S = 3a^2$. Если его сторона равна $x$, то $x^2 = 3a^2$, откуда $x = a\sqrt{3}$. Нам нужно построить отрезок длиной $a\sqrt{3}$ и затем построить на нем квадрат.

Построение отрезка длиной $a\sqrt{3}$ можно выполнить с помощью теоремы Пифагора. Заметим, что $(a\sqrt{3})^2 = 3a^2 = a^2 + 2a^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2$. Это означает, что отрезок искомой длины является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $a\sqrt{2}$.

Построение:
1. В данном квадрате `ABCD` со стороной `a` строим диагональ `BD`. Ее длина, согласно теореме Пифагора, равна $\sqrt{a^2+a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.
2. Строим прямоугольный треугольник, у которого один катет равен стороне квадрата `AB` (длиной `a`), а другой катет равен его диагонали `BD` (длиной $a\sqrt{2}$). Для этого на продолжении стороны `DA` за точку `A` отложим отрезок `AE`, равный по длине диагонали `BD`. Это можно сделать циркулем, установив его раствор равным `BD` и проведя дугу с центром в `A`.
3. Поскольку сторона `AD` перпендикулярна `AB`, то построенный треугольник `EAB` является прямоугольным с катетами $AE = a\sqrt{2}$ и $AB = a$.
4. Гипотенуза `EB` этого треугольника по теореме Пифагора имеет длину $\sqrt{AE^2 + AB^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + a^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
5. Отрезок `EB` является стороной искомого квадрата. Строим квадрат на стороне `EB`, используя циркуль и линейку.

Ответ: Искомый квадрат — это квадрат, построенный на отрезке, который является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными стороне и диагонали исходного квадрата.