Номер 1352, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1352, страница 356.
№1352 (с. 356)
Условие. №1352 (с. 356)
скриншот условия

1352 Решите предыдущую задачу для случая, когда АВ = А₁В₁. Сколько решений имеет задача?
Решение 1. №1352 (с. 356)

Решение 10. №1352 (с. 356)

Решение 11. №1352 (с. 356)
Данная задача является продолжением задачи 1351, в которой были даны точки $A(0; 1; 2)$, $B(1; 1; 1)$ и $B_1(0; 2; 1)$. Условие, предложенное в задаче 1352, а именно $AB = AB_1$, для этих точек уже выполняется, что можно проверить, вычислив расстояния:
$AB = \sqrt{(1-0)^2 + (1-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
$AB_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$
Вопрос "Сколько решений имеет задача?" указывает на то, что, вероятно, следует рассмотреть более общий случай. Будем считать, что точки $A(0; 1; 2)$ и $B_1(0; 2; 1)$ зафиксированы, а точка $B$ — это любая точка в пространстве, удовлетворяющая условию $AB = AB_1$.
Найдем множество точек $B(x; y; z)$, для которых выполняется это условие. Так как мы уже вычислили $AB_1 = \sqrt{2}$, условие принимает вид $AB = \sqrt{2}$.
Запишем это условие в координатах для точки $B(x; y; z)$:
$AB^2 = (x-0)^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = (\sqrt{2})^2$
$x^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 2$
Это уравнение сферы с центром в точке $A(0; 1; 2)$ и радиусом $R=\sqrt{2}$. Таким образом, любая точка $B$, лежащая на этой сфере, удовлетворяет условию задачи. Теперь решим пункты из предыдущей задачи для этого общего случая.
а) Найти координаты точек $A'$, $B'$, $B'_1$
Точки $A'$, $B'$, $B'_1$ симметричны точкам $A$, $B$, $B_1$ относительно плоскости $Oxy$. Симметрия относительно плоскости $Oxy$ изменяет только координату $z$ на противоположную: $(x_0; y_0; z_0) \to (x_0; y_0; -z_0)$.
Для точки $A(0; 1; 2)$ симметричной будет точка $A'(0; 1; -2)$.
Для точки $B_1(0; 2; 1)$ симметричной будет точка $B'_1(0; 2; -1)$.
Для произвольной точки $B(x; y; z)$, лежащей на сфере $x^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 2$, симметричной будет точка $B'(x; y; -z)$. Множество всех таких точек $B'$ также образует сферу. Чтобы найти ее уравнение, выразим координаты $(x, y, z)$ через координаты $(x', y', z')$ точки $B'$: $x=x'$, $y=y'$, $z=-z'$. Подставим их в уравнение сферы для точки $B$:
$(x')^2 + (y'-1)^2 + (-z'-2)^2 = 2$
$(x')^2 + (y'-1)^2 + (z'+2)^2 = 2$
Это уравнение сферы с центром в точке $A'(0; 1; -2)$ и радиусом $R=\sqrt{2}$.
Ответ: $A'(0; 1; -2)$, $B'_1(0; 2; -1)$. Точка $B'$ является произвольной точкой сферы с уравнением $(x-0)^2 + (y-1)^2 + (z+2)^2 = 2$.
б) Найти длины отрезков $AB$ и $A'B'$
Длина отрезка $AB$ по условию задачи равна $AB_1$, то есть $AB = \sqrt{2}$.
Длину отрезка $A'B'$ можно найти, зная, что осевая симметрия является движением, то есть сохраняет расстояния. Следовательно, $A'B' = AB = \sqrt{2}$. Проверим это вычислением:
$A'B' = \sqrt{(x-0)^2 + (y-1)^2 + (-z-(-2))^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2 + (2-z)^2} = \sqrt{x^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2} = \sqrt{2}$.
Ответ: $AB = \sqrt{2}$, $A'B' = \sqrt{2}$.
в) Найти длины отрезков $AB_1$ и $A'B'_1$
Длины этих отрезков не зависят от положения точки $B$. Мы уже вычисляли их ранее.
$AB_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (2-1)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$.
$A'B'_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (2-1)^2 + (-1-(-2))^2} = \sqrt{0+1+1} = \sqrt{2}$.
Ответ: $AB_1 = \sqrt{2}$, $A'B'_1 = \sqrt{2}$.
Сколько решений имеет задача?
Поскольку точка $B$ может быть любой точкой, лежащей на сфере $x^2 + (y-1)^2 + (z-2)^2 = 2$, а сфера состоит из бесконечного множества точек, то существует бесконечное множество возможных положений для точки $B$. Каждое такое положение определяет одно конкретное решение задачи (с конкретными координатами точки $B'$). Таким образом, задача имеет бесконечное множество решений.
Ответ: Задача имеет бесконечное множество решений.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1352 расположенного на странице 356 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1352 (с. 356), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.