Номер 1353, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры. Параграф 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Дополнительные задачи - номер 1353, страница 356.

Условие.

1353 Пусть при некоторой гомотетии точки А, В и С переходят соответственно в точки А₁, В₁ и С₁. Докажите, что если точка В лежит между точками А и С, то точка В₁ лежит между точками А₁ и С₁.

Решение 1.

Решение 10.

Решение 11.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся векторным методом.

Пусть гомотетия задана некоторым центром O и коэффициентом $k$, где $k \neq 0$. По определению гомотетии, для любой точки X её образ X? связан с ней векторным соотношением $\vec{OX_1} = k \cdot \vec{OX}$.

Условие "точка B лежит между точками A и C" означает, что все три точки (A, B, C) лежат на одной прямой, и вектор $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. Это записывается в виде следующего векторного равенства: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

Теперь рассмотрим векторы, которые соединяют образы точек A?, B? и C?. Выразим эти векторы через исходные, используя определение гомотетии и свойство разности векторов:

$\vec{A_1B_1} = \vec{OB_1} - \vec{OA_1} = k \cdot \vec{OB} - k \cdot \vec{OA} = k(\vec{OB} - \vec{OA}) = k \cdot \vec{AB}$

$\vec{B_1C_1} = \vec{OC_1} - \vec{OB_1} = k \cdot \vec{OC} - k \cdot \vec{OB} = k(\vec{OC} - \vec{OB}) = k \cdot \vec{BC}$

$\vec{A_1C_1} = \vec{OC_1} - \vec{OA_1} = k \cdot \vec{OC} - k \cdot \vec{OA} = k(\vec{OC} - \vec{OA}) = k \cdot \vec{AC}$

Нам необходимо доказать, что точка B? лежит между точками A? и C?. Это условие будет выполнено, если для векторов образов будет справедливо аналогичное векторное равенство: $\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C_1}$.

Проверим это равенство. Подставим в его правую часть выражения для векторов $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{B_1C_1}$, которые мы получили ранее: $\vec{A_1B_1} + \vec{B_1C_1} = k \cdot \vec{AB} + k \cdot \vec{BC} = k(\vec{AB} + \vec{BC})$.

Так как по условию задачи $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$, мы можем заменить сумму векторов в скобках на вектор $\vec{AC}$: $k(\vec{AB} + \vec{BC}) = k \cdot \vec{AC}$.

С другой стороны, мы уже установили, что левая часть доказываемого равенства, вектор $\vec{A_1C_1}$, также равна $k \cdot \vec{AC}$.

Таким образом, мы показали, что $\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{B_1C_1}$. Это векторное равенство означает, что точки A?, B? и C? также лежат на одной прямой, причём точка B? находится между точками A? и C?. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.