Номер 1359, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1359, страница 356.
№1359 (с. 356)
Условие. №1359 (с. 356)
скриншот условия

1359 Дана окружность О радиуса r, точка P окружности и хорда АВ. Постройте хорду PX так, чтобы её середина принадлежала хорде АВ.
Решение 1. №1359 (с. 356)

Решение 10. №1359 (с. 356)


Решение 11. №1359 (с. 356)
Для решения данной задачи построения используется метод геометрических мест точек (ГМТ).
Анализ
Пусть $PX$ — искомая хорда, а точка $M$ — её середина. Согласно условию задачи, точка $M$ должна принадлежать хорде $AB$.
Рассмотрим треугольник $\triangle POX$. Поскольку точки $P$ и $X$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $r$, стороны $OP$ и $OX$ равны радиусу ($OP = OX = r$). Следовательно, $\triangle POX$ является равнобедренным.
Точка $M$ — середина основания $PX$ равнобедренного треугольника $\triangle POX$. Отрезок $OM$, соединяющий вершину с серединой основания, является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Отсюда следует, что $OM \perp PX$, а значит, угол $\angle OMP$ прямой и равен $90^\circ$.
Геометрическое место точек, из которых отрезок $OP$ виден под прямым углом, — это окружность, построенная на отрезке $OP$ как на диаметре.
Таким образом, точка $M$ должна удовлетворять двум условиям одновременно:
- Принадлежать хорде $AB$.
- Принадлежать окружности с диаметром $OP$.
Следовательно, искомая точка $M$ является точкой пересечения хорды $AB$ и вспомогательной окружности, построенной на $OP$ как на диаметре.
Построение
Алгоритм построения искомой хорды $PX$ с помощью циркуля и линейки:
- Соединить центр $O$ данной окружности с точкой $P$.
- Построить вспомогательную окружность на отрезке $OP$ как на диаметре. Для этого:
- Найти середину $C$ отрезка $OP$ (например, с помощью построения срединного перпендикуляра).
- Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным $CO$.
- Найти точку (или точки) $M$ как пересечение построенной вспомогательной окружности и данной хорды $AB$.
- Провести прямую через точки $P$ и $M$.
- Точка пересечения этой прямой с исходной окружностью, отличная от $P$, является искомой точкой $X$.
- Соединить точки $P$ и $X$. Хорда $PX$ — искомая.
Доказательство
Докажем, что построенная хорда $PX$ удовлетворяет условиям задачи:
- По построению (шаг 3), точка $M$ лежит на хорде $AB$.
- По построению (шаг 2), точка $M$ лежит на окружности с диаметром $OP$. Следовательно, вписанный угол $\angle OMP$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Это означает, что $OM \perp PX$.
- Рассмотрим $\triangle POX$. Он равнобедренный, так как $OP=OX=r$. В этом треугольнике $OM$ — высота, проведенная к основанию $PX$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой.
- Из этого следует, что $M$ является серединой хорды $PX$.
Таким образом, мы построили хорду $PX$, середина которой принадлежит хорде $AB$.
Исследование
Количество решений задачи зависит от количества точек пересечения вспомогательной окружности (с диаметром $OP$) и хорды $AB$ (рассматриваемой как отрезок).
- Два решения, если прямая, содержащая хорду $AB$, пересекает вспомогательную окружность в двух различных точках, и обе эти точки лежат на отрезке $AB$.
- Одно решение, если прямая $AB$ касается вспомогательной окружности в точке, лежащей на отрезке $AB$, или если прямая пересекает окружность в двух точках, но только одна из них лежит на отрезке $AB$.
- Нет решений, если прямая $AB$ не пересекает вспомогательную окружность, или если точки пересечения существуют, но лежат вне отрезка $AB$.
Следовательно, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.
Ответ: Для построения искомой хорды $PX$ необходимо построить вспомогательную окружность на отрезке $OP$ как на диаметре. Затем найти точку $M$ как точку пересечения этой вспомогательной окружности и хорды $AB$. После этого провести прямую через точки $P$ и $M$. Вторая точка пересечения этой прямой с исходной окружностью будет точкой $X$. Хорда $PX$ — искомая.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1359 расположенного на странице 356 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1359 (с. 356), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.