Номер 1359, страница 356 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1359, страница 356.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1359 (с. 356)
Условие. №1359 (с. 356)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 356, номер 1359, Условие

1359 Дана окружность О радиуса r, точка P окружности и хорда АВ. Постройте хорду PX так, чтобы её середина принадлежала хорде АВ.

Решение 1. №1359 (с. 356)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 356, номер 1359, Решение 1
Решение 10. №1359 (с. 356)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 356, номер 1359, Решение 10 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 356, номер 1359, Решение 10 (продолжение 2)
Решение 11. №1359 (с. 356)

Для решения данной задачи построения используется метод геометрических мест точек (ГМТ).

Анализ

Пусть $PX$ — искомая хорда, а точка $M$ — её середина. Согласно условию задачи, точка $M$ должна принадлежать хорде $AB$.

Рассмотрим треугольник $\triangle POX$. Поскольку точки $P$ и $X$ лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $r$, стороны $OP$ и $OX$ равны радиусу ($OP = OX = r$). Следовательно, $\triangle POX$ является равнобедренным.

Точка $M$ — середина основания $PX$ равнобедренного треугольника $\triangle POX$. Отрезок $OM$, соединяющий вершину с серединой основания, является медианой. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Отсюда следует, что $OM \perp PX$, а значит, угол $\angle OMP$ прямой и равен $90^\circ$.

Геометрическое место точек, из которых отрезок $OP$ виден под прямым углом, — это окружность, построенная на отрезке $OP$ как на диаметре.

Таким образом, точка $M$ должна удовлетворять двум условиям одновременно:

  1. Принадлежать хорде $AB$.
  2. Принадлежать окружности с диаметром $OP$.

Следовательно, искомая точка $M$ является точкой пересечения хорды $AB$ и вспомогательной окружности, построенной на $OP$ как на диаметре.

Построение

Алгоритм построения искомой хорды $PX$ с помощью циркуля и линейки:

  1. Соединить центр $O$ данной окружности с точкой $P$.
  2. Построить вспомогательную окружность на отрезке $OP$ как на диаметре. Для этого:
    • Найти середину $C$ отрезка $OP$ (например, с помощью построения срединного перпендикуляра).
    • Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом, равным $CO$.
  3. Найти точку (или точки) $M$ как пересечение построенной вспомогательной окружности и данной хорды $AB$.
  4. Провести прямую через точки $P$ и $M$.
  5. Точка пересечения этой прямой с исходной окружностью, отличная от $P$, является искомой точкой $X$.
  6. Соединить точки $P$ и $X$. Хорда $PX$ — искомая.

Доказательство

Докажем, что построенная хорда $PX$ удовлетворяет условиям задачи:

  1. По построению (шаг 3), точка $M$ лежит на хорде $AB$.
  2. По построению (шаг 2), точка $M$ лежит на окружности с диаметром $OP$. Следовательно, вписанный угол $\angle OMP$, опирающийся на диаметр, равен $90^\circ$. Это означает, что $OM \perp PX$.
  3. Рассмотрим $\triangle POX$. Он равнобедренный, так как $OP=OX=r$. В этом треугольнике $OM$ — высота, проведенная к основанию $PX$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой.
  4. Из этого следует, что $M$ является серединой хорды $PX$.

Таким образом, мы построили хорду $PX$, середина которой принадлежит хорде $AB$.

Исследование

Количество решений задачи зависит от количества точек пересечения вспомогательной окружности (с диаметром $OP$) и хорды $AB$ (рассматриваемой как отрезок).

  • Два решения, если прямая, содержащая хорду $AB$, пересекает вспомогательную окружность в двух различных точках, и обе эти точки лежат на отрезке $AB$.
  • Одно решение, если прямая $AB$ касается вспомогательной окружности в точке, лежащей на отрезке $AB$, или если прямая пересекает окружность в двух точках, но только одна из них лежит на отрезке $AB$.
  • Нет решений, если прямая $AB$ не пересекает вспомогательную окружность, или если точки пересечения существуют, но лежат вне отрезка $AB$.

Следовательно, задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

Ответ: Для построения искомой хорды $PX$ необходимо построить вспомогательную окружность на отрезке $OP$ как на диаметре. Затем найти точку $M$ как точку пересечения этой вспомогательной окружности и хорды $AB$. После этого провести прямую через точки $P$ и $M$. Вторая точка пересечения этой прямой с исходной окружностью будет точкой $X$. Хорда $PX$ — искомая.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1359 расположенного на странице 356 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1359 (с. 356), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться