Номер 1365, страница 357 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Дополнительные задачи. § 3. Применение подобия фигур к доказательству теорем и решению задач. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1365, страница 357.

1365 Дана окружность О радиуса r и точка А плоскости. Докажите, что множество середин отрезков AM, где М — любая точка окружности О радиуса r, есть окружность. Укажите положение центра этой окружности и найдите её радиус.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим методом, основанным на свойстве средней линии треугольника.

Доказательство, что множество середин отрезков AM есть окружность

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Пусть $A$ — фиксированная точка на плоскости, а $M$ — произвольная точка, принадлежащая данной окружности. Нам нужно доказать, что геометрическое место точек $K$, являющихся серединами отрезков $AM$, есть окружность.

Рассмотрим треугольник $\triangle AOM$. Пусть точка $K$ является серединой отрезка $AM$. Проведем отрезок $OA$ и обозначим его середину как точку $O'$. Поскольку точки $O$ и $A$ фиксированы, их середина, точка $O'$, также является фиксированной точкой.

В треугольнике $\triangle AOM$ отрезок $O'K$ соединяет середины сторон $OA$ и $AM$. По свойству средней линии треугольника, отрезок $O'K$ параллелен стороне $OM$ и его длина равна половине длины стороны $OM$. Математически это записывается так: $O'K \parallel OM$ и $O'K = \frac{1}{2} OM$.

По условию, точка $M$ лежит на окружности с центром $O$ и радиусом $r$, следовательно, длина отрезка $OM$ постоянна и равна $r$ ($OM = r$) для любой точки $M$ на этой окружности.

Отсюда следует, что длина отрезка $O'K$ также является постоянной величиной: $O'K = \frac{1}{2} r$.

Таким образом, мы показали, что любая точка $K$ (середина отрезка $AM$) находится на постоянном расстоянии $\frac{r}{2}$ от фиксированной точки $O'$. По определению, множество всех таких точек $K$ образует окружность.

Укажите положение центра этой окружности и найдите её радиус

Из проведенного доказательства мы также определяем параметры этой новой окружности. Центром искомой окружности является точка $O'$, то есть середина отрезка $OA$, соединяющего центр исходной окружности $O$ и точку $A$. Радиус искомой окружности равен постоянному расстоянию $O'K$, то есть он равен $\frac{r}{2}$.

Ответ: Множество середин отрезков $AM$ является окружностью. Центр этой окружности находится в середине отрезка $OA$ (где $O$ — центр исходной окружности, а $A$ — данная точка). Радиус этой окружности равен $\frac{r}{2}$.