Номер 1370, страница 359 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 10. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1370, страница 359.

1370 Даны четырёхугольник ABCD и точка О. Точки Е, F, G и Н симметричны точке О относительно середин сторон AB, ВС, CD и DA соответственно. Что представляет собой четырёхугольник EFGH?

Для решения данной задачи наиболее удобен метод векторов. Введём радиус-векторы для вершин четырёхугольника $ABCD$ и точки $O$. Пусть $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ и $\vec{o}$ — радиус-векторы точек $A$, $B$, $C$, $D$ и $O$ соответственно, отложенные от произвольного начала координат.

Обозначим середины сторон четырёхугольника $ABCD$ как $M_{AB}$, $M_{BC}$, $M_{CD}$ и $M_{DA}$. Их радиус-векторы выражаются через радиус-векторы вершин:

• Середина $M_{AB}$ стороны $AB$ имеет радиус-вектор $\vec{m}_{AB} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$.
• Середина $M_{BC}$ стороны $BC$ имеет радиус-вектор $\vec{m}_{BC} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$.
• Середина $M_{CD}$ стороны $CD$ имеет радиус-вектор $\vec{m}_{CD} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$.
• Середина $M_{DA}$ стороны $DA$ имеет радиус-вектор $\vec{m}_{DA} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}$.

По условию, точка $E$ симметрична точке $O$ относительно середины $M_{AB}$. Это означает, что $M_{AB}$ является серединой отрезка $OE$. Используя формулу для радиус-вектора середины отрезка, получаем:$\vec{m}_{AB} = \frac{\vec{o} + \vec{e}}{2}$Выразим отсюда радиус-вектор $\vec{e}$ точки $E$:$\vec{e} = 2\vec{m}_{AB} - \vec{o} = 2\left(\frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}\right) - \vec{o} = \vec{a} + \vec{b} - \vec{o}$.

Аналогичным образом находим радиус-векторы точек $F$, $G$ и $H$:$\vec{f} = 2\vec{m}_{BC} - \vec{o} = \vec{b} + \vec{c} - \vec{o}$$\vec{g} = 2\vec{m}_{CD} - \vec{o} = \vec{c} + \vec{d} - \vec{o}$$\vec{h} = 2\vec{m}_{DA} - \vec{o} = \vec{d} + \vec{a} - \vec{o}$

Чтобы определить вид четырёхугольника $EFGH$, воспользуемся одним из свойств параллелограмма: диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Иными словами, середины его диагоналей совпадают. Найдём радиус-векторы середин диагоналей $EG$ и $FH$.

Радиус-вектор середины диагонали $EG$ равен:$\frac{\vec{e} + \vec{g}}{2} = \frac{(\vec{a} + \vec{b} - \vec{o}) + (\vec{c} + \vec{d} - \vec{o})}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} - 2\vec{o}}{2}$.

Радиус-вектор середины диагонали $FH$ равен:$\frac{\vec{f} + \vec{h}}{2} = \frac{(\vec{b} + \vec{c} - \vec{o}) + (\vec{d} + \vec{a} - \vec{o})}{2} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} - 2\vec{o}}{2}$.

Поскольку радиус-векторы середин диагоналей $EG$ и $FH$ равны, эти середины совпадают. Следовательно, диагонали четырёхугольника $EFGH$ пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Это доказывает, что $EFGH$ является параллелограммом.

Ответ: Четырёхугольник $EFGH$ является параллелограммом.