Номер 1375, страница 359 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 10. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1375, страница 359.

1375 Пусть Н — точка пересечения прямых, содержащих высоты неравностороннего треугольника ABC, а О — центр описанной около этого треугольника окружности. Используя векторы, докажите, что точка G пересечения медиан треугольника принадлежит отрезку НО и делит этот отрезок в отношении 2 : 1, считая от точки H, т. е. HGGO = 2.

Пусть $O$ — центр описанной окружности треугольника $ABC$. Выберем эту точку в качестве начала системы координат. Тогда радиус-векторы вершин $A$, $B$, $C$ будут $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ соответственно. Так как $O$ — центр описанной окружности, то длины (модули) этих векторов равны радиусу $R$ этой окружности: $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R$.

Точка $G$ является точкой пересечения медиан треугольника (центроидом). Её радиус-вектор $\vec{OG}$ выражается как среднее арифметическое радиус-векторов вершин треугольника: $$ \vec{OG} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} $$

Теперь найдем радиус-вектор ортоцентра $H$ (точки пересечения высот). Для этого воспользуемся свойством ортоцентра: прямая, проходящая через вершину и ортоцентр, перпендикулярна противолежащей стороне. Например, $AH \perp BC$. В векторной форме это означает, что скалярное произведение соответствующих векторов равно нулю: $\vec{AH} \cdot \vec{BC} = 0$.

Докажем, что радиус-вектор ортоцентра $H$ равен $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$. Для этого проверим, выполняется ли условие перпендикулярности. Пусть точка $H'$ определяется вектором $\vec{OH'} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$. Найдем вектор $\vec{AH'}$: $$ \vec{AH'} = \vec{OH'} - \vec{OA} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - \vec{OA} = \vec{OB} + \vec{OC} $$ Найдем вектор стороны $\vec{BC}$: $$ \vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} $$ Теперь вычислим их скалярное произведение: $$ \vec{AH'} \cdot \vec{BC} = (\vec{OB} + \vec{OC}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) $$ Это произведение представляет собой разность квадратов: $$ (\vec{OC} + \vec{OB}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OB}) = |\vec{OC}|^2 - |\vec{OB}|^2 $$ Так как $|\vec{OC}| = R$ и $|\vec{OB}| = R$, получаем: $$ R^2 - R^2 = 0 $$ Таким образом, $\vec{AH'} \perp \vec{BC}$, значит, высота, опущенная из вершины $A$, проходит через точку $H'$. Аналогично доказывается, что $\vec{BH'} \perp \vec{AC}$. $$ \vec{BH'} = \vec{OH'} - \vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC} $$ $$ \vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} $$ $$ \vec{BH'} \cdot \vec{AC} = (\vec{OA} + \vec{OC}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OA}) = |\vec{OC}|^2 - |\vec{OA}|^2 = R^2 - R^2 = 0 $$ Поскольку точка $H'$ лежит на двух высотах треугольника, она является точкой их пересечения, то есть ортоцентром $H$. Итак, мы доказали, что: $$ \vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} $$

Теперь сравним полученные выражения для векторов $\vec{OH}$ и $\vec{OG}$: $$ \vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} $$ $$ \vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) $$ Из этих двух равенств следует, что: $$ \vec{OH} = 3 \cdot \vec{OG} $$

Это векторное равенство означает, что векторы $\vec{OH}$ и $\vec{OG}$ коллинеарны и сонаправлены (так как коэффициент 3 — положительное число). Поскольку оба вектора отложены от одной точки $O$, это означает, что точки $O$, $G$ и $H$ лежат на одной прямой, причем точка $G$ находится между точками $O$ и $H$. Эта прямая называется прямой Эйлера.

Найдем отношение, в котором точка $G$ делит отрезок $HO$. Для этого выразим вектор $\vec{HG}$ через векторы с началом в точке $O$: $$ \vec{HG} = \vec{OG} - \vec{OH} $$ Подставим сюда найденные соотношения: $$ \vec{HG} = \vec{OG} - 3\vec{OG} = -2\vec{OG} $$ Возьмем модули (длины) векторов: $$ |\vec{HG}| = |-2\vec{OG}| = 2|\vec{OG}| $$ Длина отрезка $HG$ равна $2$ длинам отрезка $OG$. Следовательно, $HG = 2 \cdot GO$. Это означает, что точка $G$ делит отрезок $HO$ в отношении $HG : GO = 2 : 1$, считая от точки $H$. Таким образом, мы доказали, что $\frac{HG}{GO} = 2$.

Ответ: Утверждение доказано с использованием векторов. Было показано, что $\vec{OH} = 3\vec{OG}$, из чего следует, что точки $O, G, H$ лежат на одной прямой и точка $G$ делит отрезок $HO$ в отношении $2:1$, считая от точки $H$.