Номер 1382, страница 360 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1382, страница 360.

1382 В каждом из следующих случаев на оси абсцисс найдите точку M, для которой сумма её расстояний от точек A и B имеет наименьшее значение:
а) A (2; 3), B (4; −5);
б) A (−2; 4), В (3; 1).

а) Даны точки $A(2; 3)$ и $B(4; -5)$. Искомая точка $M$ лежит на оси абсцисс, следовательно, ее координаты имеют вид $M(x; 0)$. Задача состоит в том, чтобы найти такое значение $x$, при котором сумма расстояний $AM + BM$ будет наименьшей.

Обратим внимание, что ординаты точек $A$ ($y_A=3$) и $B$ ($y_B=-5$) имеют разные знаки. Это означает, что точки лежат по разные стороны от оси абсцисс ($Ox$). В этом случае, согласно свойству кратчайшего пути, сумма расстояний $AM + BM$ будет минимальной, если точка $M$ лежит на отрезке прямой, соединяющей точки $A$ и $B$. Таким образом, искомая точка $M$ — это точка пересечения прямой $AB$ с осью абсцисс.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки $A(2; 3)$ и $B(4; -5)$, используя каноническое уравнение прямой:$\frac{x - x_A}{x_B - x_A} = \frac{y - y_A}{y_B - y_A}$

Подставим координаты точек $A$ и $B$:$\frac{x - 2}{4 - 2} = \frac{y - 3}{-5 - 3}$

Упростим выражение:$\frac{x - 2}{2} = \frac{y - 3}{-8}$

Так как точка $M$ лежит на оси абсцисс, ее ордината $y=0$. Подставим это значение в уравнение прямой, чтобы найти абсциссу точки $M$:$\frac{x - 2}{2} = \frac{0 - 3}{-8}$

$\frac{x - 2}{2} = \frac{-3}{-8} = \frac{3}{8}$

Теперь решим уравнение относительно $x$:$x - 2 = 2 \cdot \frac{3}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$

$x = 2 + \frac{3}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = \frac{11}{4}$

Следовательно, координаты искомой точки $M$ — это $(\frac{11}{4}; 0)$.

Ответ: $M(\frac{11}{4}; 0)$.

б) Даны точки $A(-2; 4)$ и $B(3; 1)$. Точка $M$ лежит на оси абсцисс, поэтому ее координаты $M(x; 0)$.

В этом случае ординаты точек $A$ ($y_A=4$) и $B$ ($y_B=1$) обе положительны. Это означает, что обе точки лежат по одну сторону от оси абсцисс ($Ox$).

Для нахождения точки $M$, которая минимизирует сумму $AM + BM$, используется метод симметричного отражения. Отразим одну из точек, например $B$, симметрично относительно оси абсцисс. Координаты отраженной точки $B'$ будут $(3; -1)$.

Для любой точки $M$ на оси $Ox$ расстояние $BM$ равно расстоянию $B'M$ (так как ось $Ox$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BB'$). Следовательно, задача минимизации суммы $AM + BM$ эквивалентна задаче минимизации суммы $AM + B'M$.

Сумма $AM + B'M$ будет наименьшей, когда точки $A$, $M$ и $B'$ лежат на одной прямой (поскольку $A$ и $B'$ находятся по разные стороны от оси $Ox$). Таким образом, искомая точка $M$ — это точка пересечения прямой $AB'$ с осью абсцисс.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки $A(-2; 4)$ и $B'(3; -1)$:$\frac{x - x_A}{x_{B'} - x_A} = \frac{y - y_A}{y_{B'} - y_A}$

Подставим координаты:$\frac{x - (-2)}{3 - (-2)} = \frac{y - 4}{-1 - 4}$

$\frac{x + 2}{5} = \frac{y - 4}{-5}$

Поскольку точка $M$ лежит на оси абсцисс, ее ордината $y=0$. Подставим это значение в уравнение:$\frac{x + 2}{5} = \frac{0 - 4}{-5}$

$\frac{x + 2}{5} = \frac{-4}{-5} = \frac{4}{5}$

Решим уравнение относительно $x$:$x + 2 = 4$

$x = 2$

Следовательно, координаты искомой точки $M$ — это $(2; 0)$.

Ответ: $M(2; 0)$.