Номер 1387, страница 360 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 11. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1387, страница 360.

1387 Точка О не лежит на данной окружности. Для каждой точки M₁ окружности на луче OM₁ взята такая точка M, что OM = k ⋅ OM₁, где k — данное положительное число. Найдите множество всех точек M.

Пусть данная окружность, назовем её $\omega_1$, имеет центр в точке $C_1$ и радиус $R_1$. Точка $O$ не лежит на этой окружности. Для каждой точки $M_1$, принадлежащей окружности $\omega_1$, на луче $OM_1$ строится точка $M$ такая, что выполняется соотношение $OM = k \cdot OM_1$, где $k$ — данное положительное число.

Данное условие означает, что каждая точка $M$ является образом соответствующей точки $M_1$ при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$. Поскольку $k>0$, гомотетия является прямой (то есть сохраняет направление от центра). Искомое множество всех точек $M$ — это образ всей окружности $\omega_1$ при этом преобразовании.

Одним из фундаментальных свойств гомотетии является то, что она преобразует окружность в окружность. Следовательно, искомое множество точек $M$ также является окружностью. Обозначим эту новую окружность как $\omega$. Чтобы полностью определить окружность $\omega$, нам нужно найти её центр $C$ и радиус $R$.

Центр $C$ новой окружности $\omega$ является образом центра $C_1$ исходной окружности $\omega_1$ при той же гомотетии. Это значит, что точка $C$ лежит на луче $OC_1$ и её расстояние от центра гомотетии $O$ равно $OC = k \cdot OC_1$. В векторной форме это записывается как $\vec{OC} = k \cdot \vec{OC_1}$.

Радиус $R$ новой окружности $\omega$ равен произведению радиуса $R_1$ исходной окружности $\omega_1$ на коэффициент гомотетии. Так как $k$ — положительное число, радиус будет $R = k \cdot R_1$.

Таким образом, множество всех точек $M$ есть окружность $\omega$ с центром в точке $C$ и радиусом $R$, где $C$ — точка на луче $OC_1$ такая, что $OC = k \cdot OC_1$, а $R = k \cdot R_1$.

Ответ: Множество всех точек $M$ — это окружность, гомотетичная данной окружности относительно центра $O$ с коэффициентом $k$. Если исходная окружность имеет центр $C_1$ и радиус $R_1$, то искомая окружность имеет центр $C$, лежащий на луче $OC_1$ и удовлетворяющий условию $OC = k \cdot OC_1$, и радиус $R = k \cdot R_1$.