Номер 1393, страница 361 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 12. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1393, страница 361.

1393 Выразите диагонали вписанного в окружность четырёхугольника через его стороны.

Пусть в окружность вписан четырёхугольник $ABCD$ со сторонами $AB=a$, $BC=b$, $CD=c$ и $DA=d$. Обозначим его диагонали $AC=p$ и $BD=q$. Задача состоит в том, чтобы выразить длины диагоналей $p$ и $q$ через длины сторон $a, b, c, d$.

Для нахождения длины диагонали $p=AC$, рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$, на которые эта диагональ делит четырёхугольник. Основное свойство вписанного четырёхугольника — сумма противоположных углов равна $180^\circ$. Таким образом, если $\angle B = \beta$, то $\angle D = 180^\circ - \beta$, и, следовательно, $\cos D = \cos(180^\circ - \beta) = -\cos \beta$.

Применим теорему косинусов к обоим треугольникам, выразив через их стороны квадрат общей стороны $AC = p$:
В $\triangle ABC$: $p^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \beta$.
В $\triangle ADC$: $p^2 = c^2 + d^2 - 2cd \cos D = c^2 + d^2 - 2cd(-\cos\beta) = c^2 + d^2 + 2cd \cos \beta$.

Теперь у нас есть два выражения для $p^2$. Приравняем их правые части, чтобы найти $\cos \beta$:
$a^2 + b^2 - 2ab \cos \beta = c^2 + d^2 + 2cd \cos \beta$
$a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = 2ab \cos \beta + 2cd \cos \beta$
$a^2 + b^2 - c^2 - d^2 = (2ab + 2cd) \cos \beta$
Отсюда $\cos \beta = \frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}$.

Подставим полученное выражение для $\cos \beta$ в первое уравнение для $p^2$:
$p^2 = a^2 + b^2 - 2ab \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2 - d^2}{2(ab + cd)}\right)$
$p^2 = a^2 + b^2 - \frac{ab(a^2 + b^2 - c^2 - d^2)}{ab + cd}$
Приводя к общему знаменателю, получаем:
$p^2 = \frac{(a^2+b^2)(ab+cd) - ab(a^2+b^2-c^2-d^2)}{ab+cd}$
Раскрывая скобки и упрощая числитель:
$p^2 = \frac{a^3b+a^2cd+ab^3+b^2cd - a^3b-ab^3+abc^2+abd^2}{ab+cd}$
$p^2 = \frac{a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2}{ab+cd}$

Числитель этой дроби можно разложить на множители: $a^2cd + b^2cd + abc^2 + abd^2 = (ac+bd)(ad+bc)$.
Таким образом, для квадрата диагонали $p$ имеем:
$p^2 = \frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}$

Извлекая квадратный корень, получаем искомую формулу для диагонали $p=AC$:
$p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$

Формула для второй диагонали $q=BD$ выводится аналогично, рассматривая треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. Результат имеет симметричный вид:
$q = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$

Эти формулы известны как теорема Брахмагупты.

Ответ:
Для вписанного четырёхугольника со сторонами $a, b, c, d$ (взятыми последовательно), длины диагоналей $p$ и $q$ выражаются следующими формулами:
$p = \sqrt{\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd}}$
$q = \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}$
где $p$ — диагональ, соединяющая вершины между сторонами $d,a$ и $b,c$, а $q$ — диагональ, соединяющая вершины между сторонами $a,b$ и $c,d$.