Номер 1396, страница 361 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 12. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1396, страница 361.

1396 В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD равно 3, а боковая сторона CD, не перпендикулярная к основаниям, равна 6. Точка Е — середина отрезка CD, угол СBE равен α. Найдите площадь трапеции ABCD.

Пусть $ABCD$ — прямоугольная трапеция, у которой основания $AD$ и $BC$ параллельны, а боковая сторона $AB$ перпендикулярна основаниям. Таким образом, $\angle A = \angle B = 90^\circ$.По условию задачи имеем:

• Меньшее основание $AD = 3$.
• Боковая сторона $CD = 6$.
• Точка $E$ — середина отрезка $CD$, следовательно, $CE = ED = CD/2 = 3$.
• Угол $\angle CBE = \alpha$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{AD+BC}{2} \cdot AB$. Нам необходимо найти длины основания $BC$ и высоты $AB$. Обозначим $BC = b$ и $AB = h$.

Проведем высоту $DH$ из точки $D$ к основанию $BC$. Так как $AB$ перпендикулярна $BC$, то $DH$ параллельна $AB$ и равна ей по длине. Четырехугольник $ABHD$ является прямоугольником.Следовательно, $DH = AB = h$ и $BH = AD = 3$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $DHC$ ($\angle DHC = 90^\circ$).Катет $HC = BC - BH = b - 3$.По теореме Пифагора: $DH^2 + HC^2 = CD^2$.Подставив известные значения, получим:$h^2 + (b-3)^2 = 6^2 = 36$. (1)

Также из треугольника $DHC$ можно выразить косинус угла $C$ трапеции (обозначим $\angle C = \gamma$):$\cos \gamma = \frac{HC}{CD} = \frac{b-3}{6}$.

Теперь рассмотрим треугольник $CBE$. Нам известны две стороны $BC = b$, $CE = 3$ и угол между ними $\angle BCE = \gamma$. Применим теорему косинусов для нахождения стороны $BE$:$BE^2 = BC^2 + CE^2 - 2 \cdot BC \cdot CE \cdot \cos\gamma$$BE^2 = b^2 + 3^2 - 2 \cdot b \cdot 3 \cdot \frac{b-3}{6}$$BE^2 = b^2 + 9 - b(b-3)$$BE^2 = b^2 + 9 - b^2 + 3b$$BE^2 = 3b + 9$. (2)

В том же треугольнике $CBE$ нам известен угол $\angle CBE = \alpha$. Применим теорему косинусов еще раз, теперь для нахождения стороны $CE$:$CE^2 = BC^2 + BE^2 - 2 \cdot BC \cdot BE \cdot \cos\alpha$$3^2 = b^2 + (3b+9) - 2 \cdot b \cdot \sqrt{3b+9} \cdot \cos\alpha$$9 = b^2 + 3b + 9 - 2b\sqrt{3b+9} \cos\alpha$$0 = b^2 + 3b - 2b\sqrt{3b+9} \cos\alpha$

Так как $b$ — это длина основания, $b > 0$. Мы можем разделить уравнение на $b$:$0 = b+3 - 2\sqrt{3b+9} \cos\alpha$$b+3 = 2\sqrt{3(b+3)} \cos\alpha$

Возведем обе части уравнения в квадрат:$(b+3)^2 = 4 \cdot 3(b+3) \cdot \cos^2\alpha$$(b+3)^2 = 12(b+3)\cos^2\alpha$

Так как $b > 0$, то $b+3 \neq 0$, и мы можем разделить обе части на $(b+3)$:$b+3 = 12\cos^2\alpha$$b = 12\cos^2\alpha - 3$.

Теперь найдем высоту $h$ из уравнения (1): $h^2 = 36 - (b-3)^2$.Выразим $b-3$:$b-3 = (12\cos^2\alpha - 3) - 3 = 12\cos^2\alpha - 6 = 6(2\cos^2\alpha - 1)$.Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$, получаем:$b-3 = 6\cos(2\alpha)$.

Подставим это в выражение для $h^2$:$h^2 = 36 - (6\cos(2\alpha))^2 = 36 - 36\cos^2(2\alpha) = 36(1-\cos^2(2\alpha)) = 36\sin^2(2\alpha)$.Так как $h$ — это высота, $h > 0$. Для существования трапеции угол $\alpha$ должен быть острым, поэтому $0 < 2\alpha < \pi$, и $\sin(2\alpha) > 0$.Следовательно, $h = 6\sin(2\alpha)$.

Наконец, вычислим площадь трапеции $ABCD$:$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot h = \frac{3+b}{2} \cdot h$$S = \frac{3+(12\cos^2\alpha - 3)}{2} \cdot 6\sin(2\alpha)$$S = \frac{12\cos^2\alpha}{2} \cdot 6\sin(2\alpha)$$S = 6\cos^2\alpha \cdot 6\sin(2\alpha)$$S = 36\cos^2\alpha\sin(2\alpha)$.

Эту формулу можно также представить в виде $S = 72\sin\alpha\cos^3\alpha$.

Ответ: $36\cos^2\alpha\sin(2\alpha)$.