Номер 1400, страница 362 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 13. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1400, страница 362.

1400 Докажите, что отрезок АK, изображённый на рисунке 423, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром О.

Для доказательства утверждения найдем длину отрезка AK, выраженную через радиус R большой окружности, а затем сравним ее с известной формулой для длины стороны правильного десятиугольника, вписанного в ту же окружность.

1. Нахождение длины отрезка AK.

Пусть радиус большой окружности с центром в точке O равен $R$. Из рисунка видно, что $OA$ и $OB$ — радиусы, причем они перпендикулярны друг другу. Таким образом, $OA = OB = R$ и $\angle AOB = 90^\circ$.

Точка C является серединой радиуса OB, следовательно, $OC = \frac{1}{2}OB = \frac{R}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AOC$. По теореме Пифагора найдем длину гипотенузы AC:

$AC^2 = OA^2 + OC^2 = R^2 + \left(\frac{R}{2}\right)^2 = R^2 + \frac{R^2}{4} = \frac{5R^2}{4}$

$AC = \sqrt{\frac{5R^2}{4}} = \frac{R\sqrt{5}}{2}$

Меньшая окружность построена с центром в точке C и проходит через точку B. Следовательно, ее радиус равен длине отрезка CB. Так как C — середина OB, то $CB = OC = \frac{R}{2}$.

Точка K, согласно построению, лежит на отрезке AC и на меньшей окружности. Это означает, что расстояние от центра C до точки K равно радиусу этой окружности, то есть $CK = CB = \frac{R}{2}$.

Теперь можем вычислить длину отрезка AK:

$AK = AC - CK = \frac{R\sqrt{5}}{2} - \frac{R}{2} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$

2. Нахождение длины стороны правильного десятиугольника.

Длина стороны $a_n$ правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, вычисляется по формуле $a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$.

Для правильного десятиугольника (n=10), сторона $a_{10}$ будет равна:

$a_{10} = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{10}\right) = 2R \sin(18^\circ)$

Значение $\sin(18^\circ)$ является известной константой: $\sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

Подставим это значение в формулу для стороны десятиугольника:

$a_{10} = 2R \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$

3. Заключение.

Сравнивая результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы видим, что выражения для длины отрезка AK и длины стороны правильного вписанного десятиугольника $a_{10}$ полностью совпадают:

$AK = a_{10} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$

Это доказывает, что отрезок AK, изображённый на рисунке, равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность с центром O. Что и требовалось доказать.

Ответ: Длина отрезка AK, найденная из геометрического построения, равна $AK = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$. Длина стороны правильного десятиугольника, вписанного в ту же окружность радиуса R, также равна $a_{10} = \frac{R(\sqrt{5}-1)}{2}$. Поскольку эти величины равны, утверждение доказано.