Номер 1407, страница 362 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 13. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1407, страница 362.

1407 Пусть ABCD — квадрат, а A₁B₁C₁ — правильный треугольник, вписанные в окружность радиуса R. Докажите, что сумма AB + А₁В₁ равна длине полуокружности с точностью до 0,01R.

Для доказательства данного утверждения необходимо найти длины сторон квадрата $ABCD$ и правильного треугольника $A_1B_1C_1$, вписанных в окружность радиуса $R$. Затем нужно вычислить их сумму и сравнить с длиной полуокружности того же радиуса.

Воспользуемся общей формулой для длины стороны $a_n$ правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$

1. Длина стороны квадрата ($AB$)

Для квадрата $n=4$. Длина его стороны $AB$ равна:

$AB = a_4 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{4}\right) = 2R \sin(45^\circ)$

Поскольку $\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$AB = 2R \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = R\sqrt{2}$

2. Длина стороны правильного треугольника ($A_1B_1$)

Для правильного треугольника $n=3$. Длина его стороны $A_1B_1$ равна:

$A_1B_1 = a_3 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{3}\right) = 2R \sin(60^\circ)$

Поскольку $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$A_1B_1 = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3}$

3. Сравнение суммы длин сторон с длиной полуокружности

Сумма длин сторон квадрата и треугольника составляет:

$S = AB + A_1B_1 = R\sqrt{2} + R\sqrt{3} = R(\sqrt{2} + \sqrt{3})$

Длина полуокружности радиуса $R$ равна $L = \pi R$.

Нам необходимо доказать, что сумма $S$ равна длине $L$ с точностью до $0.01R$. Это означает, что абсолютная разность между $S$ и $L$ не превышает $0.01R$:

$|S - L| \le 0.01R$

$|R(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \pi R| \le 0.01R$

Так как радиус $R > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $R$:

$|\sqrt{2} + \sqrt{3} - \pi| \le 0.01$

Для проверки этого неравенства воспользуемся приближенными значениями констант:

$\sqrt{2} \approx 1.4142$

$\sqrt{3} \approx 1.7321$

$\pi \approx 3.1416$

Вычислим значение выражения в левой части:

$|\sqrt{2} + \sqrt{3} - \pi| \approx |1.4142 + 1.7321 - 3.1416| = |3.1463 - 3.1416| = 0.0047$

Сравним полученный результат с $0.01$:

$0.0047 \le 0.01$

Неравенство верно, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Абсолютная разность между суммой сторон $AB + A_1B_1$ и длиной полуокружности $\pi R$ равна $|R(\sqrt{2} + \sqrt{3}) - \pi R| = R|\sqrt{2} + \sqrt{3} - \pi| \approx 0.0047R$, что меньше $0.01R$.