Номер 1405, страница 362 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главе 13. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1405, страница 362.
№1405 (с. 362)
Условие. №1405 (с. 362)
скриншот условия

1405 Пусть M — произвольная точка, лежащая внутри правильного n-угольника. Докажите, что сумма перпендикуляров, проведённых из точки M к прямым, содержащим стороны n-угольника, равна nr, где r — радиус вписанной окружности.
Решение 2. №1405 (с. 362)

Решение 3. №1405 (с. 362)

Решение 4. №1405 (с. 362)

Решение 9. №1405 (с. 362)


Решение 11. №1405 (с. 362)
Пусть дан правильный $n$-угольник, длина стороны которого равна $a$. Пусть $M$ — произвольная точка, расположенная внутри этого многоугольника. Обозначим через $h_1, h_2, \dots, h_n$ длины перпендикуляров, опущенных из точки $M$ на прямые, содержащие стороны $n$-угольника.
Доказательство основано на вычислении площади $S$ данного $n$-угольника двумя различными способами.
Способ 1. Соединим точку $M$ с каждой из $n$ вершин многоугольника. Это разбивает $n$-угольник на $n$ треугольников. Для каждого из этих треугольников ($i=1, 2, \dots, n$) одна из сторон $n$-угольника служит основанием (длиной $a$), а перпендикуляр $h_i$, опущенный из точки $M$ на эту сторону, является его высотой.
Площадь $i$-го треугольника равна $S_i = \frac{1}{2} a h_i$.
Площадь всего $n$-угольника $S$ равна сумме площадей этих $n$ треугольников:$S = S_1 + S_2 + \dots + S_n = \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2} a h_i = \frac{a}{2} (h_1 + h_2 + \dots + h_n) = \frac{a}{2} \sum_{i=1}^{n} h_i$.
Способ 2. Площадь правильного $n$-угольника можно также вычислить через его периметр $P$ и радиус вписанной окружности $r$ (апофему). Периметр правильного $n$-угольника со стороной $a$ равен $P = na$.
Площадь $S$ вычисляется по формуле:$S = \frac{1}{2} P \cdot r = \frac{1}{2} (na) r = \frac{nar}{2}$.
Теперь приравняем два полученных выражения для площади $S$:$\frac{a}{2} \sum_{i=1}^{n} h_i = \frac{nar}{2}$.
Так как длина стороны $a$ не может быть равна нулю ($a > 0$), мы можем умножить обе части равенства на $\frac{2}{a}$, чтобы упростить его:$\sum_{i=1}^{n} h_i = nr$.
Таким образом, доказано, что сумма перпендикуляров, проведённых из произвольной точки внутри правильного $n$-угольника к прямым, содержащим его стороны, постоянна и равна $nr$.
Ответ: Утверждение доказано. Сумма перпендикуляров равна $nr$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1405 расположенного на странице 362 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1405 (с. 362), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.