Номер 1406, страница 362 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 13. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1406, страница 362.

1406 Углы треугольника образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 2. Докажите, что середины сторон и основания высот этого треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.

1. Нахождение углов треугольника

Пусть углы треугольника, которые мы обозначим как $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=2$. Можно записать углы как $x$, $2x$ и $4x$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$ или $\pi$ радиан. Составим уравнение: $x + 2x + 4x = \pi$ $7x = \pi$ $x = \frac{\pi}{7}$ Таким образом, углы нашего треугольника равны $\alpha = \frac{\pi}{7}$, $\beta = \frac{2\pi}{7}$ и $\gamma = \frac{4\pi}{7}$.

2. Расположение вершин треугольника на комплексной плоскости

Рассмотрим описанную около данного треугольника $ABC$ окружность. Поместим ее центр $O$ в начало комплексной плоскости, а радиус окружности примем за $R$. Вершины правильного семиугольника, вписанного в эту окружность, можно представить в виде комплексных чисел $P_k = R e^{i \frac{2\pi k}{7}}$ для $k = 0, 1, \dots, 6$.

Центральные углы, стягиваемые сторонами треугольника, равны удвоенным противолежащим углам: $2\alpha = \frac{2\pi}{7}$, $2\beta = \frac{4\pi}{7}$ и $2\gamma = \frac{8\pi}{7}$. Сумма этих углов равна $\frac{14\pi}{7} = 2\pi$, что соответствует полной окружности.

Это означает, что вершины нашего треугольника $A, B, C$ можно совместить с некоторыми вершинами правильного семиугольника $P_k$. Расположим вершины $A, B, C$ так, чтобы соответствующие центральные углы совпадали с вычисленными. Пусть вершина $A$ (с углом $\alpha = \pi/7$) соответствует точке $P_0$. Сторона $BC$, лежащая напротив угла $A$, должна стягивать дугу $2\alpha = 2\pi/7$. Сторона $AC$ (напротив угла $B=\beta$) стягивает дугу $2\beta=4\pi/7$. Сторона $AB$ (напротив угла $C=\gamma$) стягивает дугу $2\gamma=8\pi/7$.

Пусть в порядке обхода против часовой стрелки вершины треугольника $A, B, C$ соответствуют точкам $P_0, P_4, P_5$.

• Дуга $BC$ (от $P_4$ до $P_5$) имеет угловую меру $\frac{2\pi}{7}$. Угол при вершине $A$, опирающийся на эту дугу, равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{7} = \frac{\pi}{7} = \alpha$.
• Дуга $AC$ (от $P_5$ до $P_0=P_7$) имеет угловую меру $2 \cdot \frac{2\pi}{7} = \frac{4\pi}{7}$. Угол при вершине $B$, опирающийся на эту дугу, равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{4\pi}{7} = \frac{2\pi}{7} = \beta$.
• Дуга $AB$ (от $P_0$ до $P_4$) имеет угловую меру $4 \cdot \frac{2\pi}{7} = \frac{8\pi}{7}$. Угол при вершине $C$, опирающийся на эту дугу, равен $\frac{1}{2} \cdot \frac{8\pi}{7} = \frac{4\pi}{7} = \gamma$.

Таким образом, мы можем отождествить вершины треугольника с комплексными числами $a = P_0$, $b = P_4$, $c = P_5$.

3. Определение положения шести точек на окружности девяти точек

Известно, что середины сторон треугольника и основания его высот лежат на одной окружности, которая называется окружностью девяти точек (или окружностью Эйлера). Центр этой окружности $N$ является серединой отрезка, соединяющего центр описанной окружности $O$ и ортоцентр $H$. В нашей системе координат $O$ — это начало, а ортоцентр $H$ имеет комплексную координату $h = a+b+c$. Тогда центр окружности девяти точек $N$ имеет координату $n = \frac{a+b+c}{2}$. Радиус окружности девяти точек $R_9$ равен $R/2$.

Найдем положение шести заданных точек (середины сторон $A_1, B_1, C_1$ и основания высот $H_a, H_b, H_c$) относительно центра $N$.

Для середин сторон (где $A_1$ — середина $BC$, $B_1$ — $AC$, $C_1$ — $AB$) векторы, проведенные из центра $N$, равны:

• $\vec{NA_1} = \frac{b+c}{2} - n = \frac{b+c}{2} - \frac{a+b+c}{2} = -\frac{a}{2} = -\frac{P_0}{2}$
• $\vec{NB_1} = \frac{a+c}{2} - n = -\frac{b}{2} = -\frac{P_4}{2}$
• $\vec{NC_1} = \frac{a+b}{2} - n = -\frac{c}{2} = -\frac{P_5}{2}$

Для оснований высот, опущенных из вершин $A, B, C$ на противолежащие стороны, векторы из центра $N$ вычисляются по формулам:

• $\vec{NH_a} = -\frac{bc}{2a} = -\frac{P_4 P_5}{2 P_0} = -\frac{P_{4+5}}{2 P_0} = -\frac{P_9}{2 P_0} = -\frac{P_2}{2 P_0} = -\frac{P_{2-0}}{2} = -\frac{P_2}{2}$
• $\vec{NH_b} = -\frac{ac}{2b} = -\frac{P_0 P_5}{2 P_4} = -\frac{P_5}{2 P_4} = -\frac{P_{5-4}}{2} = -\frac{P_1}{2}$
• $\vec{NH_c} = -\frac{ab}{2c} = -\frac{P_0 P_4}{2 P_5} = -\frac{P_4}{2 P_5} = -\frac{P_{4-5}}{2} = -\frac{P_{-1}}{2} = -\frac{P_6}{2}$

4. Доказательство

Итак, шесть заданных точек соответствуют на окружности девяти точек положениям, которые задаются векторами из ее центра $N$: $-\frac{P_0}{2}, -\frac{P_1}{2}, -\frac{P_2}{2}, -\frac{P_4}{2}, -\frac{P_5}{2}, -\frac{P_6}{2}$.

Рассмотрим теперь множество из семи точек $\{V_k\}_{k=0}^6$, положения которых на комплексной плоскости определяются векторами $v_k = N - \frac{P_k}{2}$ для $k = 0, 1, \dots, 6$.

Все эти семь точек лежат на окружности с центром в $N$ и радиусом $R/2$, так как расстояние от $N$ до каждой точки $V_k$ равно $|(N - \frac{P_k}{2}) - N| = |-\frac{P_k}{2}| = \frac{|P_k|}{2} = \frac{R}{2} = R_9$.

Угол между радиус-векторами соседних точек $V_k$ и $V_{k+1}$ (проведенными из центра $N$) равен углу между векторами $-\frac{P_k}{2}$ и $-\frac{P_{k+1}}{2}$. Этот угол, в свою очередь, равен углу между векторами $P_k$ и $P_{k+1}$, который по определению вершин правильного семиугольника равен $\frac{2\pi}{7}$.

Поскольку все семь точек лежат на одной окружности, и угловое расстояние между любыми двумя соседними точками постоянно и равно $\frac{2\pi}{7}$, эти семь точек $V_0, V_1, \dots, V_6$ являются вершинами правильного семиугольника, вписанного в окружность девяти точек.

Шесть точек, указанных в условии задачи (середины сторон и основания высот), соответствуют точкам $V_k$ для $k \in \{0, 1, 2, 4, 5, 6\}$. Это шесть из семи вершин построенного нами правильного семиугольника (не хватает только вершины $V_3$).

Ответ: Таким образом, доказано, что середины сторон и основания высот данного треугольника являются шестью вершинами правильного семиугольника.