Номер 1401, страница 362 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 13. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1401, страница 362.

1401 Около правильного пятиугольника А₁A₂А₃А₄А₅ описана окружность с центром О. Вершинами треугольника ABC являются середины сторон A₁A₂, A₂A₃ и A₃A₄ пятиугольника. Докажите, что центр О данной окружности и центр О₁ окружности, вписанной в треугольник ABC, симметричны относительно прямой AC.

Для доказательства того, что центр $O$ данной окружности и центр $O_1$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, симметричны относительно прямой $AC$, необходимо показать, что прямая $AC$ является серединным перпендикуляром к отрезку $OO_1$. Это означает, что должны выполняться два условия:

1. Отрезок $OO_1$ перпендикулярен прямой $AC$.
2. Середина отрезка $OO_1$ лежит на прямой $AC$.

Доказательство

1. Анализ свойств треугольника $ABC$ и положения точки $O$.
Пусть $A_1A_2A_3A_4A_5$ — правильный пятиугольник, вписанный в окружность с центром $O$. Вершины $A, B, C$ треугольника $ABC$ являются серединами сторон $A_1A_2, A_2A_3$ и $A_3A_4$ соответственно.

Так как $A, B, C$ — середины сторон правильного пятиугольника, то отрезки $OA, OB, OC$ являются апофемами этого пятиугольника (перпендикулярами, опущенными из центра на стороны). Все апофемы правильного многоугольника равны. Обозначим их длину через $r$. Таким образом, $OA = OB = OC = r$.

Поскольку точка $O$ равноудалена от вершин $A, B, C$ треугольника $ABC$, она является центром окружности, описанной около этого треугольника. Радиус этой окружности $R_{ABC} = r$.

Найдем углы в треугольнике $OBC$. Центральный угол, соответствующий стороне правильного пятиугольника, равен $360^\circ/5 = 72^\circ$. То есть $\angle A_1OA_2 = \angle A_2OA_3 = \angle A_3OA_4 = 72^\circ$.
Поскольку $OA$ — апофема к стороне $A_1A_2$, то $OA$ является и биссектрисой угла $\angle A_1OA_2$. Аналогично для $OB$ и $OC$.
Следовательно, $\angle AOB = \angle AOA_2 + \angle A_2OB = \frac{1}{2}\angle A_1OA_2 + \frac{1}{2}\angle A_2OA_3 = \frac{72^\circ}{2} + \frac{72^\circ}{2} = 72^\circ$.
Аналогично, $\angle BOC = \angle BOA_3 + \angle A_3OC = \frac{1}{2}\angle A_2OA_3 + \frac{1}{2}\angle A_3OA_4 = \frac{72^\circ}{2} + \frac{72^\circ}{2} = 72^\circ$.

В треугольниках $AOB$ и $BOC$:

• $OA = OB = OC = r$
• $\angle AOB = \angle BOC = 72^\circ$

Следовательно, $\triangle AOB \cong \triangle BOC$ по двум сторонам и углу между ними. Отсюда следует, что $AB = BC$. Таким образом, треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC$.

2. Доказательство перпендикулярности $OO_1 \perp AC$.
В равнобедренном треугольнике $ABC$ осью симметрии является прямая, содержащая медиану, биссектрису и высоту, проведенные из вершины $B$ к основанию $AC$. Пусть $M$ — середина $AC$. Тогда прямая $BM$ является осью симметрии треугольника $ABC$ и $BM \perp AC$.

Центр вписанной окружности $O_1$ лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, биссектриса угла $B$ совпадает с медианой $BM$. Следовательно, точка $O_1$ лежит на прямой $BM$.

Центр описанной окружности $O$ равнобедренного треугольника также лежит на его оси симметрии. Следовательно, точка $O$ лежит на прямой $BM$.

Поскольку обе точки $O$ и $O_1$ лежат на прямой $BM$, а прямая $BM$ перпендикулярна прямой $AC$, то и отрезок $OO_1$ перпендикулярен прямой $AC$. Первое условие доказано.

3. Доказательство того, что середина $OO_1$ лежит на $AC$.
Пусть $M$ — точка пересечения $OO_1$ (то есть прямой $BM$) и $AC$. Нам нужно доказать, что $M$ является серединой отрезка $OO_1$, то есть $OM = O_1M$.

Найдем расстояние $OM$. В равнобедренном треугольнике $AOC$ ($OA = OC = r$), $OM$ является высотой, а значит, и биссектрисой угла $AOC$.
$\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC = 72^\circ + 72^\circ = 144^\circ$.
Тогда $\angle AOM = \frac{1}{2}\angle AOC = \frac{144^\circ}{2} = 72^\circ$.
Из прямоугольного треугольника $OMA$ находим: $OM = OA \cos(\angle AOM) = r \cos(72^\circ)$.

Теперь найдем расстояние $O_1M$. Точка $O_1$ — центр вписанной окружности $\triangle ABC$. Расстояние от $O_1$ до любой из сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r_{in}$. Прямая $BM$ перпендикулярна $AC$ в точке $M$. Так как $O_1$ лежит на $BM$, то $O_1M$ — это перпендикуляр от $O_1$ к $AC$. Следовательно, $O_1M = r_{in}$.

Найдем $r_{in}$ по формуле $r_{in} = 4R_{ABC} \sin\frac{A}{2} \sin\frac{B}{2} \sin\frac{C}{2}$. Сначала найдем углы треугольника $ABC$.
В равнобедренном $\triangle AOB$ углы при основании равны $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - 72^\circ)/2 = 54^\circ$.
В равнобедренном $\triangle AOC$ углы при основании равны $\angle OAC = \angle OCA = (180^\circ - 144^\circ)/2 = 18^\circ$.
Угол $A$ треугольника $ABC$ равен $\angle BAC = \angle OAB - \angle OAC = 54^\circ - 18^\circ = 36^\circ$. Так как $\triangle ABC$ равнобедренный, $\angle C = \angle A = 36^\circ$. Тогда угол $B = 180^\circ - (36^\circ + 36^\circ) = 108^\circ$.

Радиус описанной окружности $\triangle ABC$ равен $R_{ABC} = OA = r$.
Подставляем значения в формулу для $r_{in}$:
$r_{in} = 4r \sin(\frac{36^\circ}{2}) \sin(\frac{108^\circ}{2}) \sin(\frac{36^\circ}{2}) = 4r \sin(18^\circ) \sin(54^\circ) \sin(18^\circ) = 4r \sin^2(18^\circ) \sin(54^\circ)$.
Используя формулу приведения $\sin(54^\circ) = \cos(90^\circ - 54^\circ) = \cos(36^\circ)$, получаем:
$r_{in} = 4r \sin^2(18^\circ) \cos(36^\circ)$.

Теперь сравним $OM$ и $O_1M$. Нам нужно доказать, что $r \cos(72^\circ) = 4r \sin^2(18^\circ) \cos(36^\circ)$, что эквивалентно проверке тождества $\cos(72^\circ) = 4\sin^2(18^\circ) \cos(36^\circ)$.
Используем известные значения тригонометрических функций "золотого сечения": $\cos(72^\circ) = \sin(18^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ и $\cos(36^\circ) = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$.
Проверим правую часть равенства:
$4\sin^2(18^\circ) \cos(36^\circ) = 4 \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2 \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) = 4 \frac{(\sqrt{5}-1)^2}{16} \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{(\sqrt{5}-1)}{4} \cdot \frac{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \cdot \frac{5-1}{4} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
Левая часть: $\cos(72^\circ) = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
Равенство выполняется, следовательно $OM = O_1M = r_{in}$.

Так как $\angle ABC = 108^\circ > 90^\circ$, треугольник $ABC$ тупоугольный. Его центр описанной окружности $O$ лежит вне треугольника, а центр вписанной окружности $O_1$ всегда лежит внутри. Точки $O$ и $O_1$ лежат на прямой $BM$ по разные стороны от прямой $AC$.

Таким образом, мы доказали, что прямая $AC$ перпендикулярна отрезку $OO_1$ и проходит через его середину $M$. Это по определению означает, что точки $O$ и $O_1$ симметричны относительно прямой $AC$.

Ответ: Что и требовалось доказать.