Номер 1408, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 13. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1408, страница 363.

1408 По данным рисунка 424 докажите, что длина отрезка AC равна длине окружности с центром О радиуса R с точностью до 0,001R.

Для доказательства утверждения проанализируем данные, представленные на рисунке, и выполним необходимые вычисления.

1. Определение длин сторон треугольника OAC

Согласно рисунку, AC является касательной к окружности в точке A. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус OA перпендикулярен отрезку AC, и треугольник OAC является прямоугольным с прямым углом при вершине A ($\angle OAC = 90^\circ$).

Катет OA этого треугольника является радиусом окружности, поэтому его длина равна $R$:$OA = R$.

Точки O, B и C лежат на одной прямой. OB — это радиус окружности, $OB = R$. Длина отрезка BC задана как $BC = 6R$. Тогда гипотенуза OC прямоугольного треугольника OAC равна сумме длин отрезков OB и BC:$OC = OB + BC = R + 6R = 7R$.

2. Вычисление длины отрезка AC

Теперь, зная длины гипотенузы OC и катета OA, мы можем найти длину второго катета AC по теореме Пифагора:$AC^2 + OA^2 = OC^2$$AC^2 = OC^2 - OA^2$Подставим известные значения:$AC^2 = (7R)^2 - R^2 = 49R^2 - R^2 = 48R^2$Найдем длину AC:$AC = \sqrt{48R^2} = R\sqrt{48} = R\sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}R$.

3. Сравнение длины отрезка AC с длиной окружности

Длина окружности $L$ с центром O и радиусом $R$ вычисляется по формуле:$L = 2\pi R$.

Нам необходимо доказать, что длина отрезка AC равна длине окружности L с точностью до $0.001R$. Это означает, что должно выполняться неравенство:$|AC - L| < 0.001R$.

Подставим в неравенство выражения для AC и L:$|4\sqrt{3}R - 2\pi R| < 0.001R$.

Так как $R > 0$, мы можем разделить обе части неравенства на $R$:$|4\sqrt{3} - 2\pi| < 0.001$.

Чтобы проверить это неравенство, воспользуемся приближенными значениями для $\sqrt{3}$ и $\pi$:$\sqrt{3} \approx 1.73205$$\pi \approx 3.14159$

Вычислим значения выражений:$4\sqrt{3} \approx 4 \times 1.73205 = 6.92820$$2\pi \approx 2 \times 3.14159 = 6.28318$

Теперь найдем абсолютное значение их разности:$|6.92820 - 6.28318| = 0.64502$.

Сравним полученный результат с требуемой точностью:$0.64502 > 0.001$.

Полученное значение $0.64502$ значительно больше, чем $0.001$. Следовательно, неравенство не выполняется. Утверждение, которое требуется доказать, неверно при данных условиях.

Примечание: Данные на рисунке являются внутренне противоречивыми. Например, если использовать угол $60^\circ$ (который, судя по рисунку, задает угол между OA и горизонталью, а значит, $\angle AOC = 30^\circ$), то при условии, что $\triangle OAC$ прямоугольный, $OC$ должно быть равно $R/\cos(30^\circ) \approx 1.155R$, что противоречит значению $OC=7R$. Если же отбросить условие перпендикулярности OA и AC, то по теореме косинусов $AC$ будет равно $R\sqrt{50 - 7\sqrt{3}} \approx 6.155R$, что также не удовлетворяет требуемой точности. Наиболее однозначная трактовка данных (использование свойства касательной и длины $BC=6R$) приводит к выводу о неверности утверждения.

Ответ: На основании данных рисунка, длина отрезка $AC$ равна $4\sqrt{3}R$. Длина окружности $L$ равна $2\pi R$. Проверка условия $|AC - L| < 0.001R$ показывает, что $|4\sqrt{3}R - 2\pi R| \approx 0.645R$, что значительно больше $0.001R$. Таким образом, доказать, что длина отрезка AC равна длине окружности с указанной точностью, невозможно, так как утверждение является неверным.