Номер 1415, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1415, страница 363.

1415 Докажите, что два треугольника равны, если две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого.

Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Пусть их элементы обозначаются соответственно: стороны $a, b, c$ и углы $\alpha, \beta, \gamma$; и стороны $a_1, b_1, c_1$ и углы $\alpha_1, \beta_1, \gamma_1$. Пусть сторона $a$ лежит против угла $\alpha$, сторона $b$ — против угла $\beta$, и так далее.

По условию задачи, две неравные стороны и разность противолежащих им углов одного треугольника соответственно равны двум сторонам и разности противолежащих им углов другого. Пусть это будут стороны $a$ и $b$. Без ограничения общности предположим, что $b > a$. Из этого следует, что противолежащий угол $\beta$ больше угла $\alpha$.

Таким образом, дано:
1) Сторона $BC = a$, сторона $AC = b$. В $\triangle A_1B_1C_1$ стороны $B_1C_1 = a_1$, $A_1C_1 = b_1$. При этом $a = a_1$ и $b = b_1$.
2) Углы, противолежащие этим сторонам: $\angle A = \alpha$, $\angle B = \beta$ в $\triangle ABC$ и $\angle A_1 = \alpha_1$, $\angle B_1 = \beta_1$ в $\triangle A_1B_1C_1$.
3) Разность углов: $\beta - \alpha = \beta_1 - \alpha_1$.
Необходимо доказать, что $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Доказательство:

Для доказательства воспользуемся теоремой синусов.
Для $\triangle ABC$ справедливо: $\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$, откуда $a \sin \beta = b \sin \alpha$.
Для $\triangle A_1B_1C_1$ справедливо: $\frac{a_1}{\sin \alpha_1} = \frac{b_1}{\sin \beta_1}$, откуда $a_1 \sin \beta_1 = b_1 \sin \alpha_1$.

Учитывая, что $a=a_1$ и $b=b_1$, второе равенство принимает вид $a \sin \beta_1 = b \sin \alpha_1$. Обозначим равную разность углов $\delta = \beta - \alpha = \beta_1 - \alpha_1$. Так как $b \neq a$, то $\beta \neq \alpha$, и следовательно $\delta \neq 0$. Выразим $\beta = \alpha + \delta$ и $\beta_1 = \alpha_1 + \delta$. Подставим эти выражения в полученные равенства:
1) $a \sin(\alpha + \delta) = b \sin \alpha$
2) $a \sin(\alpha_1 + \delta) = b \sin \alpha_1$

Рассмотрим первое уравнение. Используя формулу синуса суммы, получаем:
$a (\sin \alpha \cos \delta + \cos \alpha \sin \delta) = b \sin \alpha$
Перенесем члены с $\sin \alpha$ в одну сторону:
$a \cos \alpha \sin \delta = b \sin \alpha - a \sin \alpha \cos \delta$
$a \cos \alpha \sin \delta = \sin \alpha (b - a \cos \delta)$

Предположим, что $\cos \alpha \neq 0$ (т.е. $\alpha \neq 90^\circ$) и $b - a \cos \delta \neq 0$. Тогда можно выразить $\tan \alpha$:
$\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha = \frac{a \sin \delta}{b - a \cos \delta}$

Поскольку второе уравнение ($a \sin(\alpha_1 + \delta) = b \sin \alpha_1$) имеет точно такой же вид, для $\alpha_1$ мы получим аналогичное выражение:
$\tan \alpha_1 = \frac{a \sin \delta}{b - a \cos \delta}$

Отсюда следует, что $\tan \alpha = \tan \alpha_1$. Так как $\alpha$ и $\alpha_1$ — это углы треугольника ($0 < \alpha, \alpha_1 < 180^\circ$), из равенства их тангенсов следует их равенство: $\alpha = \alpha_1$.

Рассмотрим особый случай. Если $b - a \cos \delta = 0$, то правая часть уравнения $a \cos \alpha \sin \delta = \sin \alpha (b - a \cos \delta)$ равна нулю. Так как $a \neq 0$ и $\delta \neq 0$ (значит $\sin \delta \neq 0$, поскольку $\delta = \beta - \alpha$ не может быть $180^\circ$), для выполнения равенства необходимо, чтобы $\cos \alpha = 0$, что означает $\alpha = 90^\circ$. Таким образом, условие $b - a \cos \delta = 0$ эквивалентно тому, что $\alpha=90^\circ$. Поскольку для второго треугольника параметры $a, b, \delta$ те же, то и для него выполняется $b - a \cos \delta = 0$, а значит, $\alpha_1 = 90^\circ$. Следовательно, и в этом случае $\alpha = \alpha_1$.

Итак, мы строго доказали, что $\alpha = \alpha_1$. Из условия $\beta - \alpha = \beta_1 - \alpha_1$ теперь следует, что $\beta = \beta_1$. Таким образом, в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны два угла: $\angle A = \angle A_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Следовательно, равны и третьи углы, противолежащие стороне $c$: $\angle C = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - (\alpha_1 + \beta_1) = \angle C_1$.

Теперь мы можем применить признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними (SAS):
1. $AC = A_1C_1$ ($b=b_1$ по условию)
2. $BC = B_1C_1$ ($a=a_1$ по условию)
3. $\angle C = \angle C_1$ (угол между этими сторонами, равенство доказано выше)
Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из равенства двух неравных сторон и разности противолежащих им углов с помощью теоремы синусов выводится равенство этих углов по отдельности. Зная, что две стороны и все три угла одного треугольника соответственно равны двум сторонам и трем углам другого, можно заключить, что треугольники равны (например, по признаку "сторона-угол-сторона").