Номер 1416, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1416, страница 363.

1416 Вершины одного параллелограмма лежат соответственно на сторонах другого параллелограмма. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$ и другой параллелограмм $KLMN$, вершины которого лежат на сторонах $ABCD$: $K$ на $AB$, $L$ на $BC$, $M$ на $CD$ и $N$ на $DA$.Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$. Эта точка является его центром симметрии. Нам нужно доказать, что $O$ также является точкой пересечения диагоналей параллелограмма $KLMN$.

Центр симметрии параллелограмма — это точка пересечения его диагоналей. Таким образом, задача сводится к тому, чтобы доказать, что центр симметрии параллелограмма $KLMN$ совпадает с центром симметрии $O$ параллелограмма $ABCD$. Мы докажем, что параллелограмм $KLMN$ центрально-симметричен относительно точки $O$.

Рассмотрим центральную симметрию $S_O$ с центром в точке $O$. Поскольку $O$ — центр симметрии $ABCD$, то при этой симметрии вершины переходят в противоположные: $S_O(A)=C$, $S_O(C)=A$, $S_O(B)=D$, $S_O(D)=B$. Соответственно, стороны переходят в противоположные стороны: сторона $AB$ переходит в сторону $CD$, а сторона $BC$ — в сторону $DA$.

Для доказательства того, что $KLMN$ центрально-симметричен относительно $O$, нужно показать, что при симметрии $S_O$ вершины параллелограмма $KLMN$ переходят в другие его вершины. В частности, мы покажем, что $S_O(K)=M$ и $S_O(L)=N$.

Для этого введем векторное представление. Поместим начало координат в точку $O$. Тогда для вершин параллелограмма $ABCD$ будут справедливы равенства: $\vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$ и $\vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$. Для краткости будем обозначать векторы положения точек их заглавными буквами, например, $\vec{K}$ для точки $K$. Тогда $\vec{A} + \vec{C} = \vec{0}$ и $\vec{B} + \vec{D} = \vec{0}$.

Поскольку точки $K, L, M, N$ лежат на сторонах $ABCD$, их радиус-векторы можно выразить через радиус-векторы вершин $ABCD$:

• $K$ лежит на $AB$, значит $\vec{K} = (1-k)\vec{A} + k\vec{B}$ для некоторого $k \in [0, 1]$.
• $L$ лежит на $BC$, значит $\vec{L} = (1-l)\vec{B} + l\vec{C}$ для некоторого $l \in [0, 1]$.
• $M$ лежит на $CD$, значит $\vec{M} = (1-m)\vec{C} + m\vec{D}$ для некоторого $m \in [0, 1]$.
• $N$ лежит на $DA$, значит $\vec{N} = (1-n)\vec{D} + n\vec{A}$ для некоторого $n \in [0, 1]$.

$KLMN$ — параллелограмм, поэтому $\vec{KL} = \vec{NM}$. Выразим это равенство через векторы вершин:$\vec{L} - \vec{K} = \vec{M} - \vec{N}$$((1-l)\vec{B} + l\vec{C}) - ((1-k)\vec{A} + k\vec{B}) = ((1-m)\vec{C} + m\vec{D}) - ((1-n)\vec{D} + n\vec{A})$$-(1-k)\vec{A} + (1-l-k)\vec{B} + l\vec{C} = -n\vec{A} + (1-m)\vec{C} + (m+n-1)\vec{D}$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем по векторам $\vec{A}, \vec{B}, \vec{C}, \vec{D}$:$(k-1+n)\vec{A} + (1-l-k)\vec{B} + (l-1+m)\vec{C} + (1-m-n)\vec{D} = \vec{0}$Теперь используем соотношения $\vec{C} = -\vec{A}$ и $\vec{D} = -\vec{B}$:$(k-1+n)\vec{A} + (1-l-k)\vec{B} + (l-1+m)(-\vec{A}) + (1-m-n)(-\vec{B}) = \vec{0}$$((k-1+n) - (l-1+m))\vec{A} + ((1-l-k) - (1-m-n))\vec{B} = \vec{0}$$(k+n-l-m)\vec{A} + (-l-k+m+n)\vec{B} = \vec{0}$

Так как векторы $\vec{A}$ и $\vec{B}$ не коллинеарны (поскольку $O, A, B$ не лежат на одной прямой), это равенство возможно только если коэффициенты при векторах равны нулю:$k-l-m+n = 0$Это одно и то же уравнение.Однако, из условия $\vec{KL} = \vec{NM}$ можно получить и другое условие $\vec{KN} = \vec{LM}$.$\vec{N}-\vec{K} = \vec{M}-\vec{L}$$((1-n)\vec{D} + n\vec{A}) - ((1-k)\vec{A} + k\vec{B}) = ((1-m)\vec{C} + m\vec{D}) - ((1-l)\vec{B} + l\vec{C})$$(n-1+k)\vec{A} - k\vec{B} + l\vec{C} + (1-n-m)\vec{D} = \vec{0}$Подставляя $\vec{C}=-\vec{A}$ и $\vec{D}=-\vec{B}$:$((n-1+k) - l)\vec{A} + (-k-(1-n-m))\vec{B} = \vec{0}$$(k+n-l-1)\vec{A} + (-k-1+n+m)\vec{B} = \vec{0}$Отсюда получаем систему:$\begin{cases} k+n-l-1 = 0 \\ m+n-k-1 = 0 \end{cases}$Из первого $k+n = l+1$. Из второго $m+n = k+1$.$l+1=k+n \implies l-k = n-1$.$k+1=m+n \implies k-m = n-1$.Следовательно $l-k=k-m \implies l+m=2k$.Это кажется слишком сложным. Вернемся к первому полученному уравнению $(k-l-m+n)\vec{A} + (-l-k+m+n)\vec{B} = \vec{0}$. Коэффициенты должны быть равны нулю:$\begin{cases} k-l-m+n = 0 \\ -k-l+m+n = 0 \end{cases}$Сложив уравнения, получим: $-2l+2n=0 \implies l=n$.Вычтя второе из первого, получим: $2k-2m=0 \implies k=m$.

Итак, мы установили, что $k=m$ и $l=n$.Теперь докажем, что $S_O(K)=M$, то есть $\vec{M} = -\vec{K}$.$\vec{K} = (1-k)\vec{A} + k\vec{B}$$\vec{M} = (1-m)\vec{C} + m\vec{D} = (1-k)\vec{C} + k\vec{D}$ (поскольку $k=m$)Используя $\vec{C}=-\vec{A}$ и $\vec{D}=-\vec{B}$:$\vec{M} = (1-k)(-\vec{A}) + k(-\vec{B}) = -((1-k)\vec{A} + k\vec{B}) = -\vec{K}$.Равенство доказано.

Аналогично докажем, что $S_O(L)=N$, то есть $\vec{N} = -\vec{L}$.$\vec{L} = (1-l)\vec{B} + l\vec{C}$$\vec{N} = (1-n)\vec{D} + n\vec{A} = (1-l)\vec{D} + l\vec{A}$ (поскольку $l=n$)Используя $\vec{C}=-\vec{A}$ и $\vec{D}=-\vec{B}$:$\vec{N} = (1-l)(-\vec{B}) + l\vec{A} = l\vec{A} - (1-l)\vec{B}$$-\vec{L} = -((1-l)\vec{B} + l\vec{C}) = -(1-l)\vec{B} - l(-\vec{A}) = l\vec{A} - (1-l)\vec{B}$Сравнивая выражения для $\vec{N}$ и $-\vec{L}$, видим, что они равны.

Таким образом, параллелограмм $KLMN$ симметричен относительно точки $O$. Это означает, что $O$ является его центром, а значит, и точкой пересечения его диагоналей $KM$ и $LN$. Следовательно, точки пересечения диагоналей параллелограммов $ABCD$ и $KLMN$ совпадают.

Ответ: Утверждение доказано.