Номер 1413, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.

Тип: Учебник

Издательство: Просвещение

Год издания: 2023 - 2025

Уровень обучения: базовый

Цвет обложки: синий

ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)

Допущено Министерством просвещения Российской Федерации

Популярные ГДЗ в 7 классе

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1413, страница 363.

Навигация по странице:

Решение Комментарии
№1413 (с. 363)
Условие. №1413 (с. 363)
скриншот условия
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1413, Условие

1413 Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.

Решение 2. №1413 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1413, Решение 2
Решение 3. №1413 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1413, Решение 3
Решение 4. №1413 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1413, Решение 4
Решение 9. №1413 (с. 363)
Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1413, Решение 9 Геометрия, 7-9 класс Учебник, авторы: Атанасян Левон Сергеевич, Бутузов Валентин Фёдорович, Кадомцев Сергей Борисович, Позняк Эдуард Генрихович, Юдина Ирина Игоревна, издательство Просвещение, Москва, 2023, страница 363, номер 1413, Решение 9 (продолжение 2)
Решение 11. №1413 (с. 363)

Рассмотрим два параллелограмма, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Пусть их диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, а диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ — в точке $O_1$.

Согласно условию задачи, диагонали одного параллелограмма соответственно равны диагоналям другого, и углы между ними также равны. Запишем это математически:
1. $AC = A_1C_1$
2. $BD = B_1D_1$
3. $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$ (где $\angle AOB$ — один из углов между диагоналями).

Воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: они точкой пересечения делятся пополам.
Для параллелограмма $ABCD$: $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.
Для параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$: $A_1O_1 = O_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$ и $B_1O_1 = O_1D_1 = \frac{1}{2}B_1D_1$.

Из условия $AC = A_1C_1$ следует, что $AO = A_1O_1$ и $OC = O_1C_1$.
Из условия $BD = B_1D_1$ следует, что $BO = B_1O_1$ и $OD = O_1D_1$.

Теперь сравним треугольники, на которые диагонали делят параллелограммы.

Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle A_1O_1B_1$. В них:
• $AO = A_1O_1$ (как половины равных диагоналей)
• $BO = B_1O_1$ (как половины равных диагоналей)
• $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$ (по условию)
Следовательно, $\triangle AOB = \triangle A_1O_1B_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон: $AB = A_1B_1$.

Рассмотрим $\triangle BOC$ и $\triangle B_1O_1C_1$. В них:
• $OC = O_1C_1$
• $BO = B_1O_1$
Углы $\angle BOC$ и $\angle AOB$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$, поэтому $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB$. Аналогично, $\angle B_1O_1C_1 = 180^\circ - \angle A_1O_1B_1$. Так как $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$, то и $\angle BOC = \angle B_1O_1C_1$.
Следовательно, $\triangle BOC = \triangle B_1O_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что $BC = B_1C_1$.

В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому:
$CD = AB$ и $AD = BC$.
$C_1D_1 = A_1B_1$ и $A_1D_1 = B_1C_1$.
Так как мы доказали, что $AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$, то отсюда следует, что $CD = C_1D_1$ и $AD = A_1D_1$.
Таким образом, все стороны параллелограмма $ABCD$ соответственно равны сторонам параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.

Два многоугольника равны, если у них равны соответственные стороны и соответственные углы. Докажем равенство углов.
Из равенства $\triangle AOB = \triangle A_1O_1B_1$ следует равенство углов: $\angle OAB = \angle O_1A_1B_1$.
Аналогично равенству $\triangle BOC = \triangle B_1O_1C_1$, доказывается равенство $\triangle AOD = \triangle A_1O_1D_1$ (по двум сторонам $AO=A_1O_1$, $OD=O_1D_1$ и углу между ними $\angle AOD = \angle BOC = \angle A_1O_1D_1$). Из этого следует равенство углов: $\angle OAD = \angle O_1A_1D_1$.
Тогда угол параллелограмма $\angle A$ равен сумме углов: $\angle DAB = \angle OAD + \angle OAB$.
Соответственно, угол $\angle A_1$ равен: $\angle D_1A_1B_1 = \angle O_1A_1D_1 + \angle O_1A_1B_1$.
Так как слагаемые равны, то равны и суммы: $\angle DAB = \angle D_1A_1B_1$.
Аналогично доказывается равенство и всех остальных углов параллелограммов.

Поскольку все соответственные стороны и все соответственные углы параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны, то эти параллелограммы равны по определению.

Ответ: Утверждение доказано.

Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.

Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1413 расположенного на странице 363 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.

Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1413 (с. 363), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.

Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz

Присоединиться