Номер 1413, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1413, страница 363.
№1413 (с. 363)
Условие. №1413 (с. 363)
скриншот условия

1413 Докажите, что два параллелограмма равны, если диагонали и угол между ними одного параллелограмма соответственно равны диагоналям и углу между ними другого.
Решение 2. №1413 (с. 363)

Решение 3. №1413 (с. 363)

Решение 4. №1413 (с. 363)

Решение 9. №1413 (с. 363)


Решение 11. №1413 (с. 363)
Рассмотрим два параллелограмма, $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$. Пусть их диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, а диагонали $A_1C_1$ и $B_1D_1$ — в точке $O_1$.
Согласно условию задачи, диагонали одного параллелограмма соответственно равны диагоналям другого, и углы между ними также равны. Запишем это математически:
1. $AC = A_1C_1$
2. $BD = B_1D_1$
3. $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$ (где $\angle AOB$ — один из углов между диагоналями).
Воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: они точкой пересечения делятся пополам.
Для параллелограмма $ABCD$: $AO = OC = \frac{1}{2}AC$ и $BO = OD = \frac{1}{2}BD$.
Для параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$: $A_1O_1 = O_1C_1 = \frac{1}{2}A_1C_1$ и $B_1O_1 = O_1D_1 = \frac{1}{2}B_1D_1$.
Из условия $AC = A_1C_1$ следует, что $AO = A_1O_1$ и $OC = O_1C_1$.
Из условия $BD = B_1D_1$ следует, что $BO = B_1O_1$ и $OD = O_1D_1$.
Теперь сравним треугольники, на которые диагонали делят параллелограммы.
Рассмотрим $\triangle AOB$ и $\triangle A_1O_1B_1$. В них:
• $AO = A_1O_1$ (как половины равных диагоналей)
• $BO = B_1O_1$ (как половины равных диагоналей)
• $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$ (по условию)
Следовательно, $\triangle AOB = \triangle A_1O_1B_1$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства этих треугольников следует равенство их соответственных сторон: $AB = A_1B_1$.
Рассмотрим $\triangle BOC$ и $\triangle B_1O_1C_1$. В них:
• $OC = O_1C_1$
• $BO = B_1O_1$
Углы $\angle BOC$ и $\angle AOB$ — смежные, их сумма равна $180^\circ$, поэтому $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB$. Аналогично, $\angle B_1O_1C_1 = 180^\circ - \angle A_1O_1B_1$. Так как $\angle AOB = \angle A_1O_1B_1$, то и $\angle BOC = \angle B_1O_1C_1$.
Следовательно, $\triangle BOC = \triangle B_1O_1C_1$ по первому признаку равенства треугольников. Из этого следует, что $BC = B_1C_1$.
В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому:
$CD = AB$ и $AD = BC$.
$C_1D_1 = A_1B_1$ и $A_1D_1 = B_1C_1$.
Так как мы доказали, что $AB = A_1B_1$ и $BC = B_1C_1$, то отсюда следует, что $CD = C_1D_1$ и $AD = A_1D_1$.
Таким образом, все стороны параллелограмма $ABCD$ соответственно равны сторонам параллелограмма $A_1B_1C_1D_1$.
Два многоугольника равны, если у них равны соответственные стороны и соответственные углы. Докажем равенство углов.
Из равенства $\triangle AOB = \triangle A_1O_1B_1$ следует равенство углов: $\angle OAB = \angle O_1A_1B_1$.
Аналогично равенству $\triangle BOC = \triangle B_1O_1C_1$, доказывается равенство $\triangle AOD = \triangle A_1O_1D_1$ (по двум сторонам $AO=A_1O_1$, $OD=O_1D_1$ и углу между ними $\angle AOD = \angle BOC = \angle A_1O_1D_1$). Из этого следует равенство углов: $\angle OAD = \angle O_1A_1D_1$.
Тогда угол параллелограмма $\angle A$ равен сумме углов: $\angle DAB = \angle OAD + \angle OAB$.
Соответственно, угол $\angle A_1$ равен: $\angle D_1A_1B_1 = \angle O_1A_1D_1 + \angle O_1A_1B_1$.
Так как слагаемые равны, то равны и суммы: $\angle DAB = \angle D_1A_1B_1$.
Аналогично доказывается равенство и всех остальных углов параллелограммов.
Поскольку все соответственные стороны и все соответственные углы параллелограммов $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны, то эти параллелограммы равны по определению.
Ответ: Утверждение доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1413 расположенного на странице 363 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1413 (с. 363), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.