Номер 1417, страница 363 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 14. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1417, страница 363.

1417 Даны две окружности и прямая. Постройте правильный треугольник так, чтобы две вершины лежали соответственно на данных окружностях, а высота, проведённая из третьей вершины, — на данной прямой.

Анализ

Пусть $ABC$ — искомый правильный треугольник, где вершина $A$ лежит на первой окружности ($\omega_1$), вершина $B$ — на второй окружности ($\omega_2$), а высота, проведенная из вершины $C$, лежит на данной прямой $l$.

Из условия, что высота из вершины $C$ лежит на прямой $l$, следуют два важных факта:

1. Сама вершина $C$ лежит на прямой $l$.
2. Сторона $AB$, на которую опущена эта высота, перпендикулярна прямой $l$.

В правильном (равностороннем) треугольнике высота, проведенная к стороне, является также ее медианой и биссектрисой. То, что высота из $C$ является медианой, означает, что она проходит через середину стороны $AB$.

Таким образом, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AB$. Это означает, что точка $A$ и точка $B$ симметричны относительно прямой $l$.

Это свойство дает ключ к построению. Если точка $A$ лежит на окружности $\omega_1$, то симметричная ей точка $B$ должна лежать на окружности $\omega_1'$, которая симметрична окружности $\omega_1$ относительно прямой $l$. По условию, точка $B$ также должна лежать на окружности $\omega_2$. Следовательно, искомая вершина $B$ является точкой пересечения окружности $\omega_2$ и построенной окружности $\omega_1'$.

Построение

1. Обозначим данные окружности как $\omega_1$ (с центром $O_1$ и радиусом $R_1$) и $\omega_2$ (с центром $O_2$ и радиусом $R_2$), а данную прямую как $l$.
2. Построим окружность $\omega_1'$, симметричную окружности $\omega_1$ относительно прямой $l$. Для этого:
   • Находим точку $O_1'$ — образ центра $O_1$ при симметрии относительно прямой $l$.
   • Строим окружность $\omega_1'$ с центром в точке $O_1'$ и тем же радиусом $R_1$.
3. Находим точки пересечения окружности $\omega_1'$ и окружности $\omega_2$. Пусть $B$ — одна из таких точек (если они существуют). Эта точка будет одной из вершин искомого треугольника.
4. Строим точку $A$, симметричную точке $B$ относительно прямой $l$. Эта точка будет второй вершиной треугольника. По построению, точка $A$ будет лежать на окружности $\omega_1$.
5. Теперь у нас есть сторона $AB$ искомого треугольника. Третья вершина $C$ должна лежать на прямой $l$ (которая является серединным перпендикуляром к $AB$). Чтобы найти $C$, строим равносторонний треугольник на стороне $AB$. Это можно сделать, проведя окружности с центрами в $A$ и $B$ и радиусом, равным длине отрезка $AB$. Точки пересечения этих окружностей и будут искомыми положениями вершины $C$. Так как $l$ — серединный перпендикуляр к $AB$, обе эти точки пересечения будут лежать на прямой $l$.
6. Выбираем любую из двух найденных точек в качестве вершины $C$. Треугольник $ABC$ будет искомым.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Он заключается в нахождении образа одной из окружностей при симметрии относительно данной прямой и отыскании точек пересечения этого образа со второй окружностью, что позволяет определить вершины искомого треугольника.

Доказательство

Пусть треугольник $ABC$ построен согласно приведенному алгоритму.

1. Вершина $B$ по построению лежит на окружности $\omega_2$ (как точка пересечения $\omega_1'$ и $\omega_2$).
2. Вершина $A$ является образом точки $B$ при симметрии относительно прямой $l$. Так как $B$ лежит на $\omega_1'$ (образе $\omega_1$), то ее прообраз $A$ лежит на исходной окружности $\omega_1$. Таким образом, две вершины лежат на данных окружностях.
3. По построению, треугольник $ABC$ является равносторонним (правильным).
4. В равностороннем треугольнике высота, опущенная из вершины, совпадает с серединным перпендикуляром к противоположной стороне. Прямая $l$ по построению является серединным перпендикуляром к стороне $AB$. Следовательно, высота треугольника $ABC$, проведенная из вершины $C$, лежит на прямой $l$.

Таким образом, построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

Исследование

Количество решений задачи зависит от числа точек пересечения окружности $\omega_2$ и окружности $\omega_1'$ (образа $\omega_1$ относительно $l$).

• Нет решений: Если окружности $\omega_1'$ и $\omega_2$ не пересекаются. Это происходит, когда расстояние между их центрами $|O_1'O_2|$ больше суммы радиусов ($|O_1'O_2| > R_1 + R_2$) или меньше разности их радиусов ($|O_1'O_2| < |R_1 - R_2|$).
• Два решения: Если окружности $\omega_1'$ и $\omega_2$ касаются в одной точке $B$. В этом случае мы получаем одну сторону $AB$ и можем построить два равносторонних треугольника по обе стороны от отрезка $AB$. Вершины $C_1$ и $C_2$ обоих треугольников будут лежать на прямой $l$. Это происходит, когда $|O_1'O_2| = R_1 + R_2$ или $|O_1'O_2| = |R_1 - R_2|$.
• Четыре решения: Если окружности $\omega_1'$ и $\omega_2$ пересекаются в двух различных точках $B_1$ и $B_2$. Каждая из этих точек порождает соответствующую ей точку $A$ ($A_1$ и $A_2$). Для каждого отрезка ($A_1B_1$ и $A_2B_2$) можно построить по два равносторонних треугольника. Итого получается 4 решения. Это происходит, когда $|R_1 - R_2| < |O_1'O_2| < R_1 + R_2|$.

Ответ: Задача может иметь 0, 2 или 4 решения в зависимости от взаимного расположения данных окружностей и прямой.