Номер 1424, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 15. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1424, страница 364.

1424 В данный сектор впишите квадрат так, чтобы две его смежные вершины принадлежали дуге АВ сектора, а две другие вершины — соответственно радиусам ОА и ОВ.

Для решения этой задачи на построение мы будем использовать метод гомотетии (подобия). Задача предполагает, что искомый квадрат расположен симметрично относительно биссектрисы угла сектора. Это наиболее естественная и стандартная интерпретация условия для подобного рода задач. При такой интерпретации, две смежные вершины квадрата лежат на дуге сектора, а две другие смежные вершины — на его радиусах.

Пусть дан сектор $AOB$ с центром в точке $O$, радиусами $OA$ и $OB$, и дугой $AB$. Искомый квадрат обозначим $FEDC$, где вершины $F$ и $E$ лежат на радиусах $OA$ и $OB$ соответственно, а вершины $C$ и $D$ — на дуге $AB$. При этом $FE$ и $CD$ — это параллельные стороны квадрата, перпендикулярные биссектрисе угла $\angle AOB$.

Построение искомого квадрата:

1. Построим биссектрису $OL$ угла $\angle AOB$. Это можно сделать с помощью циркуля и линейки, найдя точку, равноудаленную от лучей $OA$ и $OB$.

2. Выберем на радиусе $OA$ произвольную точку $F_1$.

3. Через точку $F_1$ проведем прямую, перпендикулярную биссектрисе $OL$. Эта прямая пересечет радиус $OB$ в некоторой точке, которую мы обозначим $E_1$. Отрезок $F_1E_1$ будет являться стороной вспомогательного, «пробного» квадрата.

4. Теперь построим на отрезке $F_1E_1$ квадрат $F_1E_1D_1C_1$ так, чтобы он располагался внутри сектора. Для этого из точек $F_1$ и $E_1$ проведем лучи, перпендикулярные отрезку $F_1E_1$ (и, следовательно, параллельные биссектрисе $OL$), в направлении дуги $AB$.

5. На этих лучах отложим отрезки $F_1C_1$ и $E_1D_1$, равные по длине отрезку $F_1E_1$. Соединим точки $C_1$ и $D_1$. В результате будет построен вспомогательный квадрат $F_1E_1D_1C_1$.

6. Вершины $F_1$ и $E_1$ этого квадрата лежат на радиусах $OA$ и $OB$, однако вершины $C_1$ и $D_1$, в общем случае, не лежат на дуге $AB$. Чтобы найти искомый квадрат, применим гомотетию.

7. Центром гомотетии выберем вершину сектора — точку $O$. Проведем лучи $OC_1$ и $OD_1$.

8. Точки, в которых эти лучи пересекают дугу $AB$, обозначим $C$ и $D$ соответственно. Эти точки являются двумя вершинами искомого квадрата.

9. Чтобы найти две оставшиеся вершины, проведем через точки $C$ и $D$ прямые, параллельные биссектрисе $OL$ (то есть перпендикулярные хорде $CD$), до их пересечения с радиусами $OA$ и $OB$. Точку пересечения прямой, проходящей через $C$, с радиусом $OA$ назовем $F$. Точку пересечения прямой, проходящей через $D$, с радиусом $OB$ назовем $E$.

10. Соединив точки $F, E, D, C$, получим искомый квадрат.

Доказательство:

Фигура $FEDC$ была получена из квадрата $F_1E_1D_1C_1$ с помощью преобразования гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = \frac{OC}{OC_1} = \frac{OD}{OD_1}$. Преобразование гомотетии переводит квадрат в квадрат, поэтому $FEDC$ является квадратом. Проверим расположение его вершин. По построению (шаг 8), вершины $C$ и $D$ лежат на дуге $AB$. Вершина $F_1$ лежала на луче $OA$, поэтому ее образ $F$ (точка пересечения луча $OC_1$ с прямой $CF$, параллельной $C_1F_1$) также лежит на луче $OA$. Аналогично, вершина $E_1$ лежала на луче $OB$, поэтому ее образ $E$ лежит на луче $OB$. Таким образом, все условия задачи выполнены: $C$ и $D$ — это смежные вершины квадрата, лежащие на дуге $AB$, а $F$ и $E$ — две другие вершины, лежащие соответственно на радиусах $OA$ и $OB$.

Ответ: Построение искомого квадрата выполняется методом гомотетии, как описано выше. Сначала строится вспомогательный квадрат с двумя вершинами на радиусах сектора, а затем, с помощью гомотетии с центром в вершине сектора, находятся вершины искомого квадрата на дуге сектора.