Номер 1431, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 15. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1431, страница 364.

1431 Пользуясь результатом задачи 909, применяя гомотетию, докажите, что для неравностороннего треугольника основания высот, середины сторон и середины отрезков высот, заключённых между вершинами треугольника и его ортоцентром, принадлежат одной окружности (окружности девяти точек). Центр этой окружности лежит на прямой Эйлера, а радиус равен половине радиуса описанной окружности данного треугольника.

Пусть дан непрямоугольный треугольник $ABC$. Обозначим его вершины как $A, B, C$. Пусть $O$ — центр описанной окружности $\Omega$ радиуса $R$, а $H$ — ортоцентр треугольника.

Для доказательства воспользуемся методом гомотетии. Рассмотрим гомотетию $\mathcal{H}$ с центром в ортоцентре $H$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$.

При этой гомотетии образом описанной окружности $\Omega$ будет некоторая окружность, которую мы назовем окружностью девяти точек и обозначим $\omega$. Наша задача — доказать, что все девять указанных в условии точек принадлежат этой окружности $\omega$.

1. Середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром.

Вершины треугольника $A, B, C$ лежат на описанной окружности $\Omega$. Найдем их образы при гомотетии $\mathcal{H}(H, \frac{1}{2})$.

Пусть $E_A$ — образ точки $A$. По определению гомотетии, $\vec{HE_A} = \frac{1}{2}\vec{HA}$. Это означает, что $E_A$ является серединой отрезка $HA$.

Аналогично, образами точек $B$ и $C$ будут точки $E_B$ и $E_C$, которые являются серединами отрезков $HB$ и $HC$ соответственно.

Поскольку точки $A, B, C$ лежат на окружности $\Omega$, их образы $E_A, E_B, E_C$ лежат на образе этой окружности, то есть на окружности $\omega$. Таким образом, мы доказали, что три из девяти точек — середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром — лежат на одной окружности $\omega$.

2. Середины сторон треугольника.

Воспользуемся результатом задачи 909, который (в одной из своих формулировок) утверждает, что точки, симметричные ортоцентру $H$ относительно середин сторон треугольника, лежат на описанной окружности $\Omega$.

Пусть $A_1, B_1, C_1$ — середины сторон $BC, CA, AB$ соответственно.

Пусть $A'$ — точка, симметричная ортоцентру $H$ относительно середины $A_1$ стороны $BC$. Согласно упомянутому результату, точка $A'$ лежит на описанной окружности $\Omega$.

Найдем образ точки $A'$ при нашей гомотетии $\mathcal{H}(H, \frac{1}{2})$. Так как $A_1$ — середина отрезка $HA'$, то $\vec{HA'} = 2\vec{HA_1}$.

Образ точки $A'$ есть точка $A''$ такая, что $\vec{HA''} = \frac{1}{2}\vec{HA'} = \frac{1}{2}(2\vec{HA_1}) = \vec{HA_1}$. Следовательно, точка $A''$ совпадает с точкой $A_1$.

Поскольку точка $A'$ лежит на окружности $\Omega$, ее образ $A_1$ лежит на образе окружности $\Omega$, то есть на окружности $\omega$.

Аналогично доказывается, что середины сторон $B_1$ и $C_1$ также принадлежат окружности $\omega$.

Таким образом, мы доказали, что еще три точки — середины сторон треугольника — лежат на той же окружности $\omega$.

3. Основания высот.

Пусть $H_A, H_B, H_C$ — основания высот, опущенных из вершин $A, B, C$ соответственно.

Рассмотрим точки $A_1$ (середина $BC$) и $E_A$ (середина $HA$). Мы уже доказали, что они лежат на окружности $\omega$. Докажем, что отрезок $A_1E_A$ является диаметром окружности $\omega$.

Центр окружности $\omega$, обозначим его $O_9$, является образом центра $O$ окружности $\Omega$ при гомотетии $\mathcal{H}(H, \frac{1}{2})$. Значит, $O_9$ — середина отрезка $HO$. Векторно (с началом в точке $O_9$): $\vec{O_9E_A} = -\vec{O_9A_1}$. Действительно, в координатах с началом в $O$: $\vec{O_9} = \frac{1}{2}\vec{H}$, $\vec{E_A} = \frac{1}{2}(\vec{A}+\vec{H})$, $\vec{A_1} = \frac{1}{2}(\vec{B}+\vec{C})$. Используя тождество Сильвестра $\vec{H} = \vec{A}+\vec{B}+\vec{C}$, получаем, что $O_9$ — середина $A_1E_A$.

Итак, $A_1E_A$ — диаметр окружности $\omega$.

Рассмотрим основание высоты $H_A$. Точка $H_A$ лежит на стороне $BC$. Угол, опирающийся на диаметр, прямой. Чтобы доказать, что $H_A$ лежит на окружности $\omega$, достаточно показать, что $\angle E_A H_A A_1 = 90^\circ$.

Высота $AH_A$ перпендикулярна стороне $BC$. Точки $A, E_A, H, H_A$ лежат на одной прямой — прямой, содержащей высоту. Значит, прямая $E_A H_A$ совпадает с прямой $AH_A$.

Точки $A_1$ и $H_A$ лежат на стороне $BC$. Значит, прямая $A_1 H_A$ совпадает с прямой $BC$.

Поскольку $AH_A \perp BC$, то и $E_A H_A \perp A_1 H_A$. Следовательно, $\angle E_A H_A A_1 = 90^\circ$.

Это означает, что точка $H_A$ лежит на окружности, для которой $A_1E_A$ является диаметром, то есть на окружности $\omega$.

Аналогично, используя диаметры $B_1E_B$ и $C_1E_C$, доказывается, что точки $H_B$ и $H_C$ также лежат на окружности $\omega$.

Таким образом, все девять точек лежат на одной окружности $\omega$.

Свойства окружности девяти точек.

Центр окружности. Как было показано выше, центр $O_9$ окружности $\omega$ является образом центра $O$ описанной окружности при гомотетии $\mathcal{H}(H, \frac{1}{2})$. Это означает, что $O_9$ является серединой отрезка $HO$. Прямая, проходящая через ортоцентр $H$ и центр описанной окружности $O$, называется прямой Эйлера. Следовательно, центр окружности девяти точек лежит на прямой Эйлера.

Радиус окружности. При гомотетии с коэффициентом $k$ все расстояния изменяются в $|k|$ раз. Радиус окружности $\omega$ ($R_9$) равен радиусу окружности $\Omega$ ($R$), умноженному на модуль коэффициента гомотетии: $R_9 = |k| \cdot R = \frac{1}{2}R$.

Ответ: Мы доказали, что основания высот, середины сторон и середины отрезков, соединяющих вершины треугольника с его ортоцентром, принадлежат одной окружности (окружности девяти точек), так как они являются образами точек, лежащих на описанной окружности, при гомотетии с центром в ортоцентре и коэффициентом $\frac{1}{2}$. Центр этой окружности является серединой отрезка, соединяющего ортоцентр и центр описанной окружности, и, следовательно, лежит на прямой Эйлера. Ее радиус равен половине радиуса описанной окружности данного треугольника.