Номер 1430, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Задачи к главе 15. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1430, страница 364.

1430 Отрезок BD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что BD² = AB ⋅ BC – AD ⋅ DC.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом, включающим описанную окружность и подобие треугольников.

1. Опишем окружность около треугольника $ABC$.

2. Продолжим биссектрису $BD$ до пересечения с описанной окружностью в точке $E$. Соединим точку $E$ с точкой $C$.

3. Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle EBC$. У этих треугольников:

• $\angle ABD = \angle DBC$ по определению биссектрисы. Поскольку точки $B$, $D$, $E$ лежат на одной прямой, то $\angle DBC = \angle EBC$. Следовательно, $\angle ABD = \angle EBC$.
• $\angle BAD$ (то есть $\angle BAC$) и $\angle BEC$ являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, $\angle BAD = \angle BEC$.

Таким образом, $\triangle ABD \sim \triangle EBC$ по двум углам.

4. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$\frac{AB}{EB} = \frac{BD}{BC}$

Используя свойство пропорции (перекрестное умножение), получаем:

$AB \cdot BC = EB \cdot BD$

5. Точка $D$ лежит на отрезке $BE$, поэтому длину отрезка $EB$ можно представить в виде суммы длин отрезков $BD$ и $DE$: $EB = BD + DE$. Подставим это выражение в полученное ранее равенство:

$AB \cdot BC = (BD + DE) \cdot BD$

$AB \cdot BC = BD^2 + BD \cdot DE$

6. Выразим из этого уравнения $BD^2$:

$BD^2 = AB \cdot BC - BD \cdot DE$

7. Теперь воспользуемся теоремой о пересекающихся хордах. Хорды $AC$ и $BE$ пересекаются в точке $D$. Согласно теореме, произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды:

$AD \cdot DC = BD \cdot DE$

8. Наконец, подставим выражение $AD \cdot DC$ вместо $BD \cdot DE$ в формулу для $BD^2$ из пункта 6:

$BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC$ доказано.