Номер 2, страница 365 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

8 класс. Исследовательские задачи - номер 2, страница 365.

2 Теорема Птолемея и ряд задач, решаемых с её помощью (задачи 865, 912, 916). Предложите свои задачи на применение этой теоремы [2, п. 59].

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея — это свойство вписанных (циклических) четырехугольников. Она гласит, что во всяком вписанном в окружность четырехугольнике произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин его противолежащих сторон.

Для вписанного четырехугольника $ABCD$ формула выглядит так:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$

Верно и обратное утверждение (неравенство Птолемея): для любого выпуклого четырехугольника $ABCD$ выполняется $AC \cdot BD \le AB \cdot CD + BC \cdot AD$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда четырехугольник вписан в окружность.

---

Задача 865

Условие: Основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. Найдите диагональ трапеции.

Решение:
Любую равнобедренную трапецию можно вписать в окружность. Обозначим вершины трапеции как $A, B, C, D$. Пусть основаниями будут $AD=a$ и $BC=b$, а боковыми сторонами $AB=CD=c$. Диагонали равнобедренной трапеции равны, пусть их длина будет $d$, то есть $AC = BD = d$.

Так как трапеция $ABCD$ вписана в окружность, к ней можно применить теорему Птолемея:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$

Подставим известные значения в формулу:

$d \cdot d = c \cdot c + b \cdot a$

$d^2 = c^2 + ab$

Извлекая квадратный корень, находим длину диагонали:

$d = \sqrt{c^2 + ab}$

Ответ: Диагональ трапеции равна $\sqrt{c^2 + ab}$.

---

Задача 912

Условие: Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность. На дуге $BC$, не содержащей точку $A$, взята произвольная точка $P$. Докажите, что $PA = PB + PC$.

Решение:
Рассмотрим четырехугольник $ABPC$. Все его вершины лежат на одной окружности, следовательно, он является вписанным. Мы можем применить к нему теорему Птолемея.

$PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его стороны равны. Обозначим длину стороны через $a$:

$AB = BC = AC = a$

Подставим это в уравнение Птолемея:

$PA \cdot a = PB \cdot a + PC \cdot a$

Поскольку длина стороны $a$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$PA = PB + PC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

---

Задача 916

Условие: Докажите с помощью теоремы Птолемея формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Решение:
Рассмотрим окружность с диаметром $AC$, равным 1. Возьмем на окружности точки $B$ и $D$ по разные стороны от диаметра $AC$. Четырехугольник $ABCD$ является вписанным.

Пусть $\angle BAC = \alpha$ и $\angle CAD = \beta$.

Поскольку $AC$ — диаметр, углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ опираются на диаметр и равны $90^\circ$. Таким образом, треугольники $ABC$ и $ADC$ являются прямоугольными.

Из прямоугольного $\triangle ABC$ (с гипотенузой $AC=1$):
$AB = AC \cos\alpha = 1 \cdot \cos\alpha = \cos\alpha$
$BC = AC \sin\alpha = 1 \cdot \sin\alpha = \sin\alpha$

Из прямоугольного $\triangle ADC$ (с гипотенузой $AC=1$):
$AD = AC \cos\beta = 1 \cdot \cos\beta = \cos\beta$
$CD = AC \sin\beta = 1 \cdot \sin\beta = \sin\beta$

Теперь найдем длину диагонали $BD$. Длина хорды в окружности равна произведению диаметра на синус вписанного угла, который на нее опирается. В нашем случае диагональ $BD$ стягивает дугу $BAD$. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, - это $\angle BCD$, или, что удобнее, $\angle BAD$. $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \beta$.

Тогда $BD = AC \cdot \sin(\angle BAD) = 1 \cdot \sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha+\beta)$.

Применим теорему Птолемея к вписанному четырехугольнику $ABCD$:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$

Подставим найденные длины сторон и диагоналей:

$1 \cdot \sin(\alpha+\beta) = (\cos\alpha) \cdot (\sin\beta) + (\sin\alpha) \cdot (\cos\beta)$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

Формула доказана.

Ответ: Формула синуса суммы доказана.

---

Собственные задачи на применение этой теоремы

Задача 1:
Условие: Правильный пятиугольник со стороной $a=10$ см вписан в окружность. Найдите длину его диагонали.

Решение:
Пусть $ABCDE$ — правильный пятиугольник. Все его стороны равны $a$, и все диагонали равны между собой. Обозначим длину диагонали через $d$. Рассмотрим вписанный четырехугольник $ABCD$. Его стороны: $AB=a, BC=a, CD=a$. Его диагонали: $AC=d, BD=d$. Сторона $AD$ также является диагональю пятиугольника, поэтому $AD=d$.

Применим теорему Птолемея к четырехугольнику $ABCD$:
$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$

Подставим известные значения:
$d \cdot d = a \cdot a + a \cdot d$
$d^2 = a^2 + ad$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $d$:
$d^2 - ad - a^2 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения, считая $d$ переменной:
$d = \frac{-(-a) \pm \sqrt{(-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4a^2}}{2} = \frac{a \pm \sqrt{5a^2}}{2} = \frac{a(1 \pm \sqrt{5})}{2}$

Так как длина диагонали $d$ должна быть положительной, выбираем корень со знаком "плюс":
$d = a \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Подставим значение $a=10$ см:
$d = 10 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 5(1 + \sqrt{5})$ см.

Ответ: $5(1 + \sqrt{5})$ см.

Задача 2:
Условие: Четырехугольник $ABCD$ имеет стороны $AB=10, BC=12, CD=11, AD=5$. Его диагонали $AC=14$ и $BD=13$. Можно ли описать окружность вокруг этого четырехугольника?

Решение:
Чтобы вокруг четырехугольника можно было описать окружность, он должен удовлетворять условию теоремы Птолемея. Проверим, выполняется ли равенство $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$.

Найдем произведение диагоналей:
$AC \cdot BD = 14 \cdot 13 = 182$

Найдем сумму произведений противолежащих сторон:
$AB \cdot CD + BC \cdot AD = 10 \cdot 11 + 12 \cdot 5 = 110 + 60 = 170$

Сравним полученные значения:
$182 \neq 170$

Поскольку равенство не выполняется, данный четырехугольник не является вписанным.

Ответ: Нет, нельзя.