Страница 365 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

1 Сформулируйте новые признаки равенства треугольников, используя не только стороны и углы, но также медианы, биссектрисы и высоты треугольников. Примеры таких признаков дают задачи 166, 181, 420, [1, пп. 28, 29].

Эта задача может быть поставлена перед группой учащихся: создать банк признаков равенства треугольников; может использоваться как предмет интеллектуального соревнования между двумя или несколькими группами учащихся.

Помимо трёх классических признаков равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трём сторонам), существует множество других. Они используют в качестве данных не только стороны и углы, но и длины медиан, биссектрис и высот. Ниже приведены формулировки и доказательства нескольких таких признаков.

• Признак равенства по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне

  Формулировка: Если две стороны и медиана, проведённая к третьей стороне, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне, другого треугольника, то такие треугольники равны.

  Доказательство:

  Рассмотрим два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$. Пусть у них соответственно равны стороны $AC = A'C' = b$, $BC = B'C' = a$ и медианы, проведённые к стороне $AB$, $CM = C'M' = m_c$.

  1. Достроим $\triangle ABC$ до параллелограмма $ACBD$. Для этого продлим медиану $CM$ за точку $M$ на её длину до точки $D$ так, что $CM = MD$. Тогда диагональ $CD = 2m_c$. Четырёхугольник $ACBD$ является параллелограммом, так как его диагонали $AB$ и $CD$ в точке пересечения $M$ делятся пополам.

  2. В параллелограмме $ACBD$ противоположные стороны равны, поэтому $BD = AC = b$.

  3. Рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Его стороны равны $BC = a$, $BD = b$ и $CD = 2m_c$.

  4. Аналогичное построение в $\triangle A'B'C'$ даёт нам параллелограмм $A'C'B'D'$ и треугольник $\triangle B'C'D'$ со сторонами $B'C' = a'$, $B'D' = b'$ и $C'D' = 2m'_c$.

  5. Из условия $a=a'$, $b=b'$, $m_c=m'_c$ следует, что стороны треугольника $\triangle BCD$ соответственно равны сторонам треугольника $\triangle B'C'D'$. Значит, по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам), $\triangle BCD \cong \triangle B'C'D'$.

  6. Из равенства этих треугольников следует равенство их соответствующих углов, в частности $\angle CBD = \angle C'B'D'$. В параллелограмме $ACBD$ стороны $AC$ и $BD$ параллельны, а прямая $BC$ является секущей. Сумма внутренних односторонних углов равна $180^{\circ}$, то есть $\angle ACB + \angle CBD = 180^{\circ}$. Отсюда, $\angle ACB = 180^{\circ} - \angle CBD$. Аналогично для второго треугольника: $\angle A'C'B' = 180^{\circ} - \angle C'B'D'$. Так как $\angle CBD = \angle C'B'D'$, то и $\angle ACB = \angle A'C'B'$.

  7. Теперь сравним исходные треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$. В них $AC = A'C'$, $BC = B'C'$ (по условию) и угол между этими сторонами $\angle ACB = \angle A'C'B'$ (по доказанному). Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$ по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними).

  Ответ: Треугольники, у которых две стороны и медиана к третьей стороне соответственно равны, являются равными.

• Признак равенства по трём медианам

  Формулировка: Если три медианы одного треугольника соответственно равны трём медианам другого треугольника, то такие треугольники равны.

  Доказательство:

  Стороны треугольника можно выразить через его медианы. Длина медианы $m_a$, проведённой к стороне $a$, связана со сторонами треугольника формулой, следующей из теоремы Аполлония: $m_a^2 = \frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}$.

  1. Запишем формулы для квадратов длин всех трёх медиан:

  $4m_a^2 = 2b^2+2c^2-a^2$

  $4m_b^2 = 2a^2+2c^2-b^2$

  $4m_c^2 = 2a^2+2b^2-c^2$

  2. Рассматривая эти равенства как систему линейных уравнений относительно $a^2, b^2, c^2$, можно найти выражения для квадратов сторон через квадраты медиан. Решение этой системы даёт:

  $a^2 = \frac{4}{9}(2m_b^2 + 2m_c^2 - m_a^2)$

  $b^2 = \frac{4}{9}(2m_a^2 + 2m_c^2 - m_b^2)$

  $c^2 = \frac{4}{9}(2m_a^2 + 2m_b^2 - m_c^2)$

  3. Пусть даны два треугольника, $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$, с соответственно равными медианами: $m_a = m'_a$, $m_b = m'_b$, $m_c = m'_c$.

  4. Используя приведённые выше формулы, мы можем вычислить квадраты сторон для каждого треугольника. Поскольку медианы равны, то и квадраты сторон будут соответственно равны: $a^2 = (a')^2, b^2 = (b')^2, c^2 = (c')^2$.

  5. Так как длины сторон являются положительными величинами, из равенства квадратов следует и равенство самих сторон: $a=a', b=b', c=c'$.

  6. Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A'B'C'$ равны по третьему признаку (по трём сторонам).

  Ответ: Если три медианы одного треугольника равны трем медианам другого, то такие треугольники равны.

• Признак равенства по стороне, медиане и высоте, проведённым к этой стороне

  Формулировка: Если сторона, проведённая к ней медиана и проведённая к ней высота одного треугольника соответственно равны стороне, проведённой к ней медиане и проведённой к ней высоте другого треугольника, то такие треугольники равны.

  Доказательство:

  Рассмотрим $\triangle ABC$, в котором проведены высота $AH_a$ и медиана $AM_a$ к стороне $BC$. Пусть нам даны их длины $h_a = AH_a$, $m_a = AM_a$, а также длина стороны $a = BC$. Аналогичные элементы $h'_a, m'_a, a'$ даны для $\triangle A'B'C'$, и $h_a=h'_a, m_a=m'_a, a=a'$.

  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AH_aM_a$ (угол при вершине $H_a$ прямой). Его гипотенуза — это медиана $AM_a = m_a$, а один из катетов — высота $AH_a = h_a$.

  2. По теореме Пифагора, второй катет $H_aM_a = \sqrt{m_a^2 - h_a^2}$. Поскольку $m_a$ и $h_a$ заданы, длина отрезка $H_aM_a$ определяется однозначно.

  3. Теперь мы можем полностью восстановить положение вершин. Точки $B, C, M_a, H_a$ лежат на одной прямой. Точка $M_a$ является серединой отрезка $BC$, длина которого равна $a$. Значит, $BM_a = M_aC = a/2$.

  4. Положение вершины $A$ однозначно определяется относительно точек $H_a$ и $M_a$, так как $\triangle AH_aM_a$ определён однозначно.

  5. Таким образом, взаимное расположение всех трёх вершин $A, B, C$ определено однозначно. Это означает, что треугольник $\triangle ABC$ по заданным элементам $a, m_a, h_a$ строится единственным образом (с точностью до конгруэнтности).

  6. Поскольку для $\triangle A'B'C'$ даны те же значения элементов, он будет равен $\triangle ABC$.

  Ответ: Треугольник однозначно определяется стороной, медианой и высотой, проведенными к этой стороне, следовательно, это является признаком равенства.

• Признак равенства по углу, высоте и биссектрисе, проведённым из вершины этого угла

  Формулировка: Если угол, высота и биссектриса, проведённые из вершины этого угла, одного треугольника соответственно равны углу, высоте и биссектрисе, проведённым из соответствующей вершины другого треугольника, то такие треугольники равны.

  Доказательство:

  Пусть в $\triangle ABC$ из вершины $A$ проведены высота $AH_a = h_a$ и биссектриса $AL_a = l_a$. Также задан угол $\angle BAC = \alpha$. Аналогичные элементы $\alpha', h'_a, l'_a$ даны для $\triangle A'B'C'$, и $\alpha=\alpha', h_a=h'_a, l_a=l'_a$.

  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AH_aL_a$, где угол при $H_a$ прямой. Его гипотенуза $AL_a = l_a$, а катет $AH_a = h_a$. Этот треугольник строится однозначно.

  2. В $\triangle AH_aL_a$ мы можем найти угол $\angle H_aAL_a$. Обозначим его $\omega$. Из определения косинуса $\cos(\omega) = \frac{AH_a}{AL_a} = \frac{h_a}{l_a}$. Угол $\omega$ определяется однозначно.

  3. Прямая $AL_a$ является биссектрисой угла $\angle BAC$, поэтому $\angle BAL_a = \angle CAL_a = \alpha/2$.

  4. Теперь мы можем найти углы, которые высота $AH_a$ образует со сторонами $AB$ и $AC$. Возможны два случая расположения $L_a$ относительно $H_a$, но они приводят к одному и тому же набору углов треугольника (с точностью до перестановки). Пусть $L_a$ лежит между $H_a$ и $C$. Тогда:

  $\angle HAB = \angle BAL_a - \angle H_aAL_a = \alpha/2 - \omega$

  $\angle HAC = \angle CAL_a + \angle H_aAL_a = \alpha/2 + \omega$

  5. Зная эти углы, находим два других угла треугольника $ABC$ из прямоугольных треугольников $\triangle AH_aB$ и $\triangle AH_aC$:

  $\angle B = 90^\circ - \angle HAB = 90^\circ - (\alpha/2 - \omega)$

  $\angle C = 90^\circ - \angle HAC = 90^\circ - (\alpha/2 + \omega)$

  6. Таким образом, все три угла треугольника ($\alpha$, $\angle B$, $\angle C$) однозначно определены. Чтобы задать размер треугольника, найдём одну из его сторон, например, $b=AC$ из $\triangle AH_aC$:

  $b = AC = \frac{AH_a}{\cos(\angle HAC)} = \frac{h_a}{\cos(\alpha/2 + \omega)}$

  7. Поскольку все три угла и одна сторона треугольника однозначно определены, сам треугольник определён однозначно (по второму признаку равенства, ASA). Следовательно, $\triangle ABC \cong \triangle A'B'C'$.

  Ответ: Если угол, высота и биссектриса из этой же вершины одного треугольника равны соответствующим элементам другого, то треугольники равны.

2 Сформулируйте признаки равенства равнобедренных треугольников.

Равнобедренные треугольники являются частным случаем произвольных треугольников, поэтому для них справедливы все общие признаки равенства. Однако, используя свойства равнобедренных треугольников (равенство двух сторон, называемых боковыми, и равенство углов при основании), можно сформулировать специальные, более лаконичные признаки равенства.

Для доказательства рассмотрим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC$ и основанием $AC$, и $\triangle A_1B_1C_1$ с боковыми сторонами $A_1B_1=B_1C_1$ и основанием $A_1C_1$.

По боковой стороне и углу при вершине

Формулировка: Если боковая сторона и угол при вершине (угол между боковыми сторонами) одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть по условию $AB = A_1B_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Так как треугольники равнобедренные, то $BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$. Следовательно, $BC = B_1C_1$. Мы имеем, что две стороны и угол между ними треугольника $ABC$ ($AB$, $BC$ и $\angle B$) равны двум сторонам и углу между ними треугольника $A_1B_1C_1$ ($A_1B_1$, $B_1C_1$ и $\angle B_1$). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

По основанию и углу при основании

Формулировка: Если основание и угол при основании одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть по условию $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$. По свойству углов равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle C = \angle A$ и $\angle C_1 = \angle A_1$. Следовательно, $\angle C = \angle C_1$. Мы имеем, что сторона и два прилежащих к ней угла треугольника $ABC$ ($AC$, $\angle A$ и $\angle C$) равны стороне и двум прилежащим к ней углам треугольника $A_1B_1C_1$ ($A_1C_1$, $\angle A_1$ и $\angle C_1$). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

По боковой стороне и основанию

Формулировка: Если боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и основанию другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть по условию боковая сторона $AB = A_1B_1$ и основание $AC = A_1C_1$. Так как треугольники равнобедренные, то вторая боковая сторона равна первой: $BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$. Следовательно, $BC = B_1C_1$. Таким образом, три стороны треугольника $ABC$ ($AB$, $BC$, $AC$) соответственно равны трем сторонам треугольника $A_1B_1C_1$ ($A_1B_1$, $B_1C_1$, $A_1C_1$). По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Существуют и другие формулировки признаков равенства равнобедренных треугольников, которые также являются следствиями общих признаков. Например, равенство треугольников можно доказать по основанию и углу при вершине или по боковой стороне и углу при основании.

Ответ: Основные признаки равенства равнобедренных треугольников: по боковой стороне и углу при вершине; по основанию и углу при основании; по боковой стороне и основанию.

3 Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников [1, п. 30].

Признаки равенства прямоугольных треугольников являются частными случаями общих признаков равенства треугольников. Поскольку в любом прямоугольном треугольнике один угол всегда прямой (равен $90^\circ$), для доказательства их равенства требуется меньше условий, чем для произвольных треугольников. Существует несколько основных признаков.

1. По двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Доказательство: Этот признак является прямым следствием первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). В прямоугольном треугольнике угол между катетами — это прямой угол, равный $90^\circ$. Так как эти углы в двух рассматриваемых треугольниках равны, а катеты (стороны, образующие этот угол) по условию соответственно равны, то треугольники равны.
Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ углы $\angle C$ и $\angle C_1$ прямые, и дано, что катеты $AC = A_1C_1$ и $BC = B_1C_1$. Тогда $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого.

2. По катету и прилежащему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Доказательство: Этот признак следует из второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). К катету прилегают два угла: прямой угол ($90^\circ$) и один из острых углов. По условию, катет и острый угол одного треугольника равны соответствующим элементам другого. Прямые углы также равны. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Пусть в $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ углы $\angle C$ и $\angle C_1$ прямые. Если катет $AC = A_1C_1$ и прилежащий к нему острый угол $\angle A = \angle A_1$, то треугольники равны, так как сторона $AC$ и прилежащие к ней углы $\angle A$ и $\angle C$ одного треугольника соответственно равны стороне $A_1C_1$ и прилежащим к ней углам $\angle A_1$ и $\angle C_1$ другого.
Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.

3. По гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Доказательство: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Поэтому, если один острый угол одного треугольника равен острому углу другого, то и вторые острые углы этих треугольников также равны.
Пусть в $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ углы $\angle C$ и $\angle C_1$ прямые, гипотенуза $AB = A_1B_1$ и острый угол $\angle A = \angle A_1$. Тогда второй острый угол $\angle B = 90^\circ - \angle A$, а $\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$. Так как $\angle A = \angle A_1$, то и $\angle B = \angle B_1$. Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого.

4. По гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Доказательство: Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$. Пусть гипотенуза $AB = A_1B_1$ и катет $AC = A_1C_1$. Докажем равенство треугольников.
По теореме Пифагора, квадрат второго катета равен разности квадратов гипотенузы и первого катета:
$BC^2 = AB^2 - AC^2$
$B_1C_1^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2$
Поскольку по условию $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$, то правые части этих равенств равны. Следовательно, $BC^2 = B_1C_1^2$, а значит и $BC = B_1C_1$.
Теперь мы видим, что катеты $AC$ и $BC$ треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны катетам $A_1C_1$ и $B_1C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Значит, треугольники равны по двум катетам (первый рассмотренный признак).
Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого.

5. По катету и противолежащему острому углу

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Доказательство: Этот признак также сводится к одному из предыдущих. Пусть в $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ углы $\angle C$ и $\angle C_1$ прямые. Дано, что катет $AC = A_1C_1$ и противолежащий ему угол $\angle B = \angle B_1$.
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то прилежащий к катету $AC$ угол $\angle A = 90^\circ - \angle B$. Аналогично, $\angle A_1 = 90^\circ - \angle B_1$. Поскольку $\angle B = \angle B_1$, то и $\angle A = \angle A_1$.
Таким образом, задача свелась к равенству треугольников по катету ($AC = A_1C_1$) и прилежащему к нему острому углу ($\angle A = \angle A_1$), что соответствует второму признаку.
Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если катет и противолежащий ему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого.

4 Для каждого из новых признаков равенства треугольников рассмотрите задачу на построение: построить с помощью циркуля и линейки треугольник по тем элементам, которые фигурируют в признаке.

В геометрии, помимо трех основных признаков равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам, по трем сторонам), рассматриваются и другие, которые также позволяют однозначно определить треугольник. Ниже приведены решения задач на построение треугольника с помощью циркуля и линейки для двух таких случаев.

Построение треугольника по стороне и двум углам (одному прилежащему и одному противолежащему)

Этот признак равенства треугольников также известен как признак "по стороне и двум углам" (в англоязычной литературе AAS или SAA). Он формулируется так: если сторона, прилежащий к ней угол и противолежащий угол одного треугольника соответственно равны стороне, прилежащему к ней углу и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим задачу построения треугольника по этим элементам.

Дано: отрезок $a$ и два угла $\alpha$ и $\beta$.

Требуется построить: треугольник $ABC$, в котором сторона $BC = a$, прилежащий к ней угол $\angle B = \beta$, а противолежащий стороне $BC$ угол $\angle A = \alpha$.

Анализ:

Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Зная два угла $\angle A = \alpha$ и $\angle B = \beta$, мы можем найти третий угол: $\angle C = \gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. После нахождения угла $\gamma$, задача сводится к стандартной задаче построения треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам (признак ASA): по стороне $BC=a$ и прилежащим углам $\angle B = \beta$ и $\angle C = \gamma$.

Построение:

1. Сначала построим угол $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Для этого на произвольной прямой отложим от некоторой точки $O$ последовательно углы $\alpha$ и $\beta$ в одну полуплоскость. Угол, смежный с их суммой, будет искомым углом $\gamma$.

2. Проведем произвольную прямую и выберем на ней точку $B$. С помощью циркуля отложим от точки $B$ отрезок $BC$, равный данному отрезку $a$.

3. От луча $CB$ в выбранной полуплоскости построим угол, равный $\beta$. Получим луч $BM$.

4. От луча $BC$ в той же полуплоскости построим угол, равный построенному углу $\gamma$. Получим луч $CN$.

5. Точка пересечения лучей $BM$ и $CN$ будет третьей вершиной треугольника — точкой $A$.

6. Треугольник $ABC$ является искомым.

Доказательство:

По построению сторона $BC$ равна данному отрезку $a$, а угол $\angle B$ равен данному углу $\beta$. Угол $\angle C$ равен построенному углу $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Так как сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то угол $\angle A = 180^\circ - (\angle B + \angle C) = 180^\circ - (\beta + (180^\circ - \alpha - \beta)) = \alpha$. Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет элементы, равные данным.

Исследование:

Задача имеет решение тогда и только тогда, когда сумма данных углов меньше $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta < 180^\circ$. Если $\alpha + \beta \ge 180^\circ$, то третий угол не будет положительным, и треугольник построить невозможно. При выполнении этого условия решение единственно.

Ответ: задача решается построением третьего угла треугольника по двум данным и последующим сведением к основной задаче построения по стороне и двум прилежащим углам (ASA).

Построение треугольника по стороне, высоте и медиане, проведенным к этой стороне

Это пример более сложной задачи на построение, которая напрямую не следует из одного из признаков равенства, но использует геометрические свойства элементов треугольника.

Дано: три отрезка $a$, $h_a$, $m_a$.

Требуется построить: треугольник $ABC$, в котором сторона $BC=a$, высота $AH$, проведенная к этой стороне, равна $h_a$, и медиана $AM$, проведенная к этой же стороне, равна $m_a$.

Анализ:

Пусть искомый треугольник $ABC$ построен. $AH$ — его высота, а $AM$ — медиана. Это означает, что точка $H$ — основание перпендикуляра из $A$ на прямую $BC$, а точка $M$ — середина отрезка $BC$. Рассмотрим треугольник $AHM$. В нем $\angle AHM = 90^\circ$, катет $AH = h_a$ и гипотенуза $AM = m_a$. Мы можем построить этот прямоугольный треугольник. После его построения у нас будут определены вершина $A$ и точки $H$ и $M$ на прямой, содержащей сторону $BC$. Так как $M$ — середина $BC$, то $BM = MC = a/2$. Отложив от точки $M$ в противоположные стороны отрезки длиной $a/2$, мы найдем вершины $B$ и $C$.

Построение:

1. Проведем произвольную прямую $l$. Выберем на ней произвольную точку $H$.

2. Через точку $H$ проведем прямую $p$, перпендикулярную прямой $l$.

3. На прямой $p$ от точки $H$ отложим отрезок $HA$, равный данной высоте $h_a$.

4. С центром в точке $A$ проведем окружность (или дугу) радиусом, равным данной медиане $m_a$.

5. Эта окружность пересечет прямую $l$ в точке $M$. (Если $m_a > h_a$, будет две точки пересечения, симметричные относительно $H$; выберем любую из них, так как это приведет к равным треугольникам).

6. Построим отрезок, равный $a/2$ (например, разделив отрезок $a$ пополам с помощью серединного перпендикуляра).

7. На прямой $l$ от точки $M$ отложим в одну сторону отрезок $MB=a/2$ и в другую сторону отрезок $MC=a/2$.

8. Соединим точку $A$ с точками $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

В построенном треугольнике $ABC$ отрезок $AH$ является высотой по построению ($AH \perp BC$) и его длина равна $h_a$. Точка $M$ является серединой стороны $BC$ ($BM=MC=a/2$), следовательно, $AM$ — медиана, и ее длина по построению равна $m_a$. Длина стороны $BC = BM+MC = a/2 + a/2 = a$. Все условия задачи выполнены.

Исследование:

Задача имеет решение, если возможно построить вспомогательный прямоугольный треугольник $AHM$. В прямоугольном треугольнике гипотенуза не может быть короче катета. Следовательно, необходимым и достаточным условием для существования решения является $m_a \ge h_a$.

– Если $m_a > h_a$, задача имеет единственное (с точностью до симметрии) решение.

– Если $m_a = h_a$, то точки $M$ и $H$ совпадают. Это означает, что высота является и медианой, следовательно, искомый треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $BC$. Решение также единственно.

– Если $m_a < h_a$, окружность из шага 5 не пересечет прямую $l$, и построение невозможно. Задача не имеет решений.

Ответ: задача решается методом построения вспомогательного прямоугольного треугольника по известным катету (высоте $h_a$) и гипотенузе (медиане $m_a$).

1 Задача 826 и её обобщение на случай невыпуклого четырёхугольника. (Предложите способ решения, применимый для любого четырёхугольника.)

Для решения данной задачи необходимо сначала решить задачу 826 для выпуклого четырехугольника, а затем обобщить ее на невыпуклый случай. В качестве универсального метода будет предложен векторный подход.

Формулировка задачи 826 (из стандартных учебников геометрии): Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Задача 826 (решение для выпуклого четырехугольника)

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Пусть угол между диагоналями равен $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Тогда смежные углы при пересечении диагоналей будут равны $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$, $\angle COD = \alpha$ и $\angle DOA = 180^\circ - \alpha$. Важно отметить, что $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Площадь четырехугольника $ABCD$ можно найти как сумму площадей четырех треугольников, на которые его разбивают диагонали:

$S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$

Используя формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны, а $\gamma$ — угол между ними, получим:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} OA \cdot OB \sin\alpha$

$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} OB \cdot OC \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} OB \cdot OC \sin\alpha$

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} OC \cdot OD \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} OC \cdot OD \sin\alpha$

$S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} OD \cdot OA \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} OD \cdot OA \sin\alpha$

Суммируя площади этих треугольников, получаем:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \sin\alpha (OA \cdot OB + OB \cdot OC + OC \cdot OD + OD \cdot OA)$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \sin\alpha [OB(OA + OC) + OD(OC + OA)] = \frac{1}{2} \sin\alpha [(OA + OC)(OB + OD)]$

Так как для выпуклого четырехугольника $OA + OC = AC = d_1$ и $OB + OD = BD = d_2$, то получаем искомую формулу:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

Ответ: Площадь выпуклого четырехугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними, что и требовалось доказать.

Обобщение на случай невыпуклого четырёхугольника

Рассмотрим невыпуклый четырехугольник $ABCD$, у которого внутренний угол при вершине $C$ больше $180^\circ$. Такой четырехугольник по форме напоминает наконечник стрелы. Его площадь можно вычислить как разность площадей двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle CBD}$.

Диагоналями являются отрезки $AC$ и $BD$. Обозначим их длины $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Пусть прямые, содержащие диагонали, пересекаются в точке $O$ под углом $\alpha$.

Выразим площади треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ через высоту, опущенную на общее основание $BD$.

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} BD \cdot h_A$, где $h_A$ — высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BD$.

$S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2} BD \cdot h_C$, где $h_C$ — высота, проведенная из вершины $C$ к прямой $BD$.

Тогда площадь четырехугольника равна:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} BD (h_A - h_C)$

Из прямоугольных треугольников, образованных высотами и отрезками диагоналей, можно выразить высоты через угол $\alpha$:

$h_A = OA \sin\alpha$

$h_C = OC \sin\alpha$

Подставим эти выражения в формулу площади:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} BD (OA \sin\alpha - OC \sin\alpha) = \frac{1}{2} BD \sin\alpha (OA - OC)$

В рассматриваемой конфигурации невыпуклого четырехугольника точка $C$ лежит на отрезке $OA$. Следовательно, $OA - OC = AC = d_1$.

Таким образом, для невыпуклого четырехугольника мы приходим к той же формуле:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

Ответ: Формула площади $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$ верна и для невыпуклого четырехугольника.

Универсальный способ решения, применимый для любого четырёхугольника

Наиболее универсальным является векторный метод, который применим к любому (несамопересекающемуся) четырехугольнику, как выпуклому, так и невыпуклому.

Пусть вершины четырехугольника $A, B, C, D$ заданы радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ относительно произвольного начала координат.

Векторы диагоналей будут: $\vec{d_1} = \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$ и $\vec{d_2} = \vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$.

Площадь четырехугольника $ABCD$ можно представить как сумму ориентированных площадей треугольников $\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCD, \triangle ODA$. Векторная площадь четырехугольника $\vec{S}_{ABCD}$ равна:

$\vec{S}_{ABCD} = \frac{1}{2}(\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{d} + \vec{d}\times\vec{a})$

Модуль этого вектора равен удвоенной площади четырехугольника. Этот результат не зависит от выбора начала координат.

Рассмотрим векторное произведение векторов диагоналей:

$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (\vec{c} - \vec{a}) \times (\vec{d} - \vec{b}) = \vec{c}\times\vec{d} - \vec{c}\times\vec{b} - \vec{a}\times\vec{d} + \vec{a}\times\vec{b}$

Используя свойство антикоммутативности векторного произведения ($\vec{u}\times\vec{v} = -\vec{v}\times\vec{u}$), перепишем выражение:

$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{d} + \vec{d}\times\vec{a}$

Сравнивая полученное выражение с формулой для векторной площади, видим, что:

$2\vec{S}_{ABCD} = \vec{d_1} \times \vec{d_2}$

Скалярная площадь $S$ равна модулю векторной площади:

$S_{ABCD} = |\vec{S}_{ABCD}| = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$

По определению, модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов на синус угла между ними:

$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = |\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}| \cdot \sin\alpha = d_1 d_2 \sin\alpha$

где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

Таким образом, мы получаем универсальную формулу:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

Этот вывод основан только на векторных определениях и не зависит от геометрической конфигурации вершин, доказывая справедливость формулы для любого простого четырехугольника.

Ответ: Векторный метод доказывает, что формула $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$ применима для любого простого (несамопересекающегося) четырехугольника.

2 Теорема Птолемея и ряд задач, решаемых с её помощью (задачи 865, 912, 916). Предложите свои задачи на применение этой теоремы [2, п. 59].

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея — это свойство вписанных (циклических) четырехугольников. Она гласит, что во всяком вписанном в окружность четырехугольнике произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин его противолежащих сторон.

Для вписанного четырехугольника $ABCD$ формула выглядит так:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$

Верно и обратное утверждение (неравенство Птолемея): для любого выпуклого четырехугольника $ABCD$ выполняется $AC \cdot BD \le AB \cdot CD + BC \cdot AD$, причем равенство достигается тогда и только тогда, когда четырехугольник вписан в окружность.

Задача 865

Условие: Основания равнобедренной трапеции равны $a$ и $b$, а боковая сторона равна $c$. Найдите диагональ трапеции.

Решение:
Любую равнобедренную трапецию можно вписать в окружность. Обозначим вершины трапеции как $A, B, C, D$. Пусть основаниями будут $AD=a$ и $BC=b$, а боковыми сторонами $AB=CD=c$. Диагонали равнобедренной трапеции равны, пусть их длина будет $d$, то есть $AC = BD = d$.

Так как трапеция $ABCD$ вписана в окружность, к ней можно применить теорему Птолемея:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$

Подставим известные значения в формулу:

$d \cdot d = c \cdot c + b \cdot a$

$d^2 = c^2 + ab$

Извлекая квадратный корень, находим длину диагонали:

$d = \sqrt{c^2 + ab}$

Ответ: Диагональ трапеции равна $\sqrt{c^2 + ab}$.

Задача 912

Условие: Равносторонний треугольник $ABC$ вписан в окружность. На дуге $BC$, не содержащей точку $A$, взята произвольная точка $P$. Докажите, что $PA = PB + PC$.

Решение:
Рассмотрим четырехугольник $ABPC$. Все его вершины лежат на одной окружности, следовательно, он является вписанным. Мы можем применить к нему теорему Птолемея.

$PA \cdot BC = PB \cdot AC + PC \cdot AB$

Поскольку треугольник $ABC$ равносторонний, все его стороны равны. Обозначим длину стороны через $a$:

$AB = BC = AC = a$

Подставим это в уравнение Птолемея:

$PA \cdot a = PB \cdot a + PC \cdot a$

Поскольку длина стороны $a$ не равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $a$:

$PA = PB + PC$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

Задача 916

Условие: Докажите с помощью теоремы Птолемея формулу синуса суммы: $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$.

Решение:
Рассмотрим окружность с диаметром $AC$, равным 1. Возьмем на окружности точки $B$ и $D$ по разные стороны от диаметра $AC$. Четырехугольник $ABCD$ является вписанным.

Пусть $\angle BAC = \alpha$ и $\angle CAD = \beta$.

Поскольку $AC$ — диаметр, углы $\angle ABC$ и $\angle ADC$ опираются на диаметр и равны $90^\circ$. Таким образом, треугольники $ABC$ и $ADC$ являются прямоугольными.

Из прямоугольного $\triangle ABC$ (с гипотенузой $AC=1$):
$AB = AC \cos\alpha = 1 \cdot \cos\alpha = \cos\alpha$
$BC = AC \sin\alpha = 1 \cdot \sin\alpha = \sin\alpha$

Из прямоугольного $\triangle ADC$ (с гипотенузой $AC=1$):
$AD = AC \cos\beta = 1 \cdot \cos\beta = \cos\beta$
$CD = AC \sin\beta = 1 \cdot \sin\beta = \sin\beta$

Теперь найдем длину диагонали $BD$. Длина хорды в окружности равна произведению диаметра на синус вписанного угла, который на нее опирается. В нашем случае диагональ $BD$ стягивает дугу $BAD$. Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, - это $\angle BCD$, или, что удобнее, $\angle BAD$. $\angle BAD = \angle BAC + \angle CAD = \alpha + \beta$.

Тогда $BD = AC \cdot \sin(\angle BAD) = 1 \cdot \sin(\alpha+\beta) = \sin(\alpha+\beta)$.

Применим теорему Птолемея к вписанному четырехугольнику $ABCD$:

$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$

Подставим найденные длины сторон и диагоналей:

$1 \cdot \sin(\alpha+\beta) = (\cos\alpha) \cdot (\sin\beta) + (\sin\alpha) \cdot (\cos\beta)$

$\sin(\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

Формула доказана.

Ответ: Формула синуса суммы доказана.

Собственные задачи на применение этой теоремы

Задача 1:
Условие: Правильный пятиугольник со стороной $a=10$ см вписан в окружность. Найдите длину его диагонали.

Решение:
Пусть $ABCDE$ — правильный пятиугольник. Все его стороны равны $a$, и все диагонали равны между собой. Обозначим длину диагонали через $d$. Рассмотрим вписанный четырехугольник $ABCD$. Его стороны: $AB=a, BC=a, CD=a$. Его диагонали: $AC=d, BD=d$. Сторона $AD$ также является диагональю пятиугольника, поэтому $AD=d$.

Применим теорему Птолемея к четырехугольнику $ABCD$:
$AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$

Подставим известные значения:
$d \cdot d = a \cdot a + a \cdot d$
$d^2 = a^2 + ad$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение относительно $d$:
$d^2 - ad - a^2 = 0$

Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения, считая $d$ переменной:
$d = \frac{-(-a) \pm \sqrt{(-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a^2)}}{2 \cdot 1} = \frac{a \pm \sqrt{a^2 + 4a^2}}{2} = \frac{a \pm \sqrt{5a^2}}{2} = \frac{a(1 \pm \sqrt{5})}{2}$

Так как длина диагонали $d$ должна быть положительной, выбираем корень со знаком "плюс":
$d = a \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Подставим значение $a=10$ см:
$d = 10 \cdot \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 5(1 + \sqrt{5})$ см.

Ответ: $5(1 + \sqrt{5})$ см.

Задача 2:
Условие: Четырехугольник $ABCD$ имеет стороны $AB=10, BC=12, CD=11, AD=5$. Его диагонали $AC=14$ и $BD=13$. Можно ли описать окружность вокруг этого четырехугольника?

Решение:
Чтобы вокруг четырехугольника можно было описать окружность, он должен удовлетворять условию теоремы Птолемея. Проверим, выполняется ли равенство $AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD$.

Найдем произведение диагоналей:
$AC \cdot BD = 14 \cdot 13 = 182$

Найдем сумму произведений противолежащих сторон:
$AB \cdot CD + BC \cdot AD = 10 \cdot 11 + 12 \cdot 5 = 110 + 60 = 170$

Сравним полученные значения:
$182 \neq 170$

Поскольку равенство не выполняется, данный четырехугольник не является вписанным.

Ответ: Нет, нельзя.

3 Окружность Эйлера (задача 918). Дополнительно исследуйте, сколько точек, указанных в задаче 918, могут быть различными.

Задача 918 посвящена окружности Эйлера (или окружности девяти точек) треугольника. Эта окружность проходит через девять замечательных точек, связанных с треугольником. Исследуем, сколько из этих девяти точек могут быть различными в зависимости от вида треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Девять точек, о которых идет речь, это:

• три середины сторон треугольника: $M_a, M_b, M_c$;
• три основания высот, опущенных из вершин на противоположные стороны: $H_a, H_b, H_c$;
• три середины отрезков, соединяющих ортоцентр $H$ с вершинами треугольника (точки Эйлера): $E_a, E_b, E_c$.

Рассмотрим различные типы треугольников, чтобы определить возможное количество различных точек среди этих девяти.

Общий случай: разносторонний непрямоугольный треугольник

В общем случае, когда треугольник является разносторонним и не имеет прямых углов, все девять точек различны. Середины сторон не совпадают ни друг с другом, ни с основаниями высот, ни с точками Эйлера. Аналогично, точки в группах $\{H_a, H_b, H_c\}$ и $\{E_a, E_b, E_c\}$ различны между собой и не совпадают с точками из других групп. Таким образом, в общем случае мы имеем 9 различных точек.
Ответ: 9.

Равнобедренный треугольник (не равносторонний и не прямоугольный)

Пусть треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то есть $AB = AC$. В этом случае высота $AH_a$, опущенная из вершины $A$, является также медианой. Следовательно, основание высоты $H_a$ совпадает с серединой стороны $BC$, точкой $M_a$.
$H_a = M_a$.
Остальные семь точек остаются различными и не совпадают с этой парой. Например, $H_b$ не совпадает с $M_b$, так как для этого угол $C$ должен быть прямым, что противоречит условию. Таким образом, из девяти точек две совпадают, и мы получаем 8 различных точек.
Ответ: 8.

Прямоугольный разносторонний треугольник

Пусть угол $C$ треугольника $ABC$ прямой (${\angle}C = 90^\circ$). В этом случае ортоцентр $H$ совпадает с вершиной $C$.
Рассмотрим, как это влияет на наши точки:

• Основания высот из вершин $A$ и $B$ совпадают с вершиной $C$: $H_a = C$ и $H_b = C$.
• Точка Эйлера $E_c$ является серединой отрезка $CH$. Так как $H=C$, $E_c$ также совпадает с $C$. Итак, $H_a = H_b = E_c = C$.
• Точка Эйлера $E_a$ является серединой отрезка $AH = AC$. Таким образом, $E_a$ совпадает с серединой стороны $AC$, точкой $M_b$: $E_a = M_b$.
• Аналогично, точка Эйлера $E_b$ является серединой отрезка $BH = BC$, то есть $E_b = M_a$.

В результате этих совпадений у нас остаются следующие потенциально различные точки: $\{M_a, M_b, M_c, C, H_c\}$. Поскольку треугольник разносторонний, эти 5 точек различны. Таким образом, в прямоугольном разностороннем треугольнике имеется 5 различных точек.
Ответ: 5.

Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике ортоцентр $H$, центроид $G$ и центр описанной окружности $O$ совпадают в одной точке (центре треугольника). Высоты являются одновременно и медианами. Это приводит к следующим совпадениям:

• Основания высот совпадают с серединами сторон: $H_a = M_a, H_b = M_b, H_c = M_c$.

Таким образом, первые две группы по три точки сливаются в одну группу из трех различных точек $\{M_a, M_b, M_c\}$.
Точки Эйлера $E_a, E_b, E_c$ являются серединами отрезков $AH, BH, CH$. Они образуют свой набор из трех различных точек, которые не совпадают с серединами сторон. В равностороннем треугольнике точки $E_a, E_b, E_c$ и $M_a, M_b, M_c$ лежат на окружности Эйлера на равном расстоянии от центра и являются вершинами двух правильных треугольников, повернутых на $60^\circ$ друг относительно друга. Итого, мы имеем две группы по три точки, то есть $3+3=6$ различных точек.
Ответ: 6.

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Этот случай объединяет свойства прямоугольного и равнобедренного треугольников. Пусть ${\angle}C = 90^\circ$ и $AC = BC$.
Как и в любом прямоугольном треугольнике с прямым углом при $C$, имеем совпадения:
$H_a = H_b = E_c = C$
$E_a = M_b$
$E_b = M_a$
Это дает нам 5 потенциально различных точек: $\{M_a, M_b, M_c, C, H_c\}$.
Теперь используем свойство равнобедренности. Высота $CH_c$, опущенная на гипотенузу $AB$, является также и медианой. Следовательно, основание высоты $H_c$ совпадает с серединой гипотенузы $M_c$: $H_c = M_c$.
В итоге остаются только 4 различные точки: $\{M_a, M_b, M_c, C\}$.
Ответ: 4.

Итог

Таким образом, количество различных точек, указанных в задаче 918, может принимать следующие значения в зависимости от вида треугольника: 4, 5, 6, 8, 9.