Номер 1, страница 365 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

8 класс. Исследовательские задачи - номер 1, страница 365.

1 Задача 826 и её обобщение на случай невыпуклого четырёхугольника. (Предложите способ решения, применимый для любого четырёхугольника.)

Для решения данной задачи необходимо сначала решить задачу 826 для выпуклого четырехугольника, а затем обобщить ее на невыпуклый случай. В качестве универсального метода будет предложен векторный подход.

Формулировка задачи 826 (из стандартных учебников геометрии): Доказать, что площадь выпуклого четырехугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Задача 826 (решение для выпуклого четырехугольника)

Пусть дан выпуклый четырехугольник $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Обозначим длины диагоналей как $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Пусть угол между диагоналями равен $\alpha$, то есть $\angle AOB = \alpha$.

Тогда смежные углы при пересечении диагоналей будут равны $\angle BOC = 180^\circ - \alpha$, $\angle COD = \alpha$ и $\angle DOA = 180^\circ - \alpha$. Важно отметить, что $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$.

Площадь четырехугольника $ABCD$ можно найти как сумму площадей четырех треугольников, на которые его разбивают диагонали:

$S_{ABCD} = S_{\triangle AOB} + S_{\triangle BOC} + S_{\triangle COD} + S_{\triangle DOA}$

Используя формулу площади треугольника $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — стороны, а $\gamma$ — угол между ними, получим:

$S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} OA \cdot OB \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2} OA \cdot OB \sin\alpha$

$S_{\triangle BOC} = \frac{1}{2} OB \cdot OC \sin(\angle BOC) = \frac{1}{2} OB \cdot OC \sin\alpha$

$S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} OC \cdot OD \sin(\angle COD) = \frac{1}{2} OC \cdot OD \sin\alpha$

$S_{\triangle DOA} = \frac{1}{2} OD \cdot OA \sin(\angle DOA) = \frac{1}{2} OD \cdot OA \sin\alpha$

Суммируя площади этих треугольников, получаем:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \sin\alpha (OA \cdot OB + OB \cdot OC + OC \cdot OD + OD \cdot OA)$

Сгруппируем слагаемые в скобках:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} \sin\alpha [OB(OA + OC) + OD(OC + OA)] = \frac{1}{2} \sin\alpha [(OA + OC)(OB + OD)]$

Так как для выпуклого четырехугольника $OA + OC = AC = d_1$ и $OB + OD = BD = d_2$, то получаем искомую формулу:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

Ответ: Площадь выпуклого четырехугольника $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$, где $d_1$ и $d_2$ — длины его диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними, что и требовалось доказать.

Обобщение на случай невыпуклого четырёхугольника

Рассмотрим невыпуклый четырехугольник $ABCD$, у которого внутренний угол при вершине $C$ больше $180^\circ$. Такой четырехугольник по форме напоминает наконечник стрелы. Его площадь можно вычислить как разность площадей двух треугольников: $S_{ABCD} = S_{\triangle ABD} - S_{\triangle CBD}$.

Диагоналями являются отрезки $AC$ и $BD$. Обозначим их длины $d_1 = AC$ и $d_2 = BD$. Пусть прямые, содержащие диагонали, пересекаются в точке $O$ под углом $\alpha$.

Выразим площади треугольников $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$ через высоту, опущенную на общее основание $BD$.

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} BD \cdot h_A$, где $h_A$ — высота, проведенная из вершины $A$ к прямой $BD$.

$S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2} BD \cdot h_C$, где $h_C$ — высота, проведенная из вершины $C$ к прямой $BD$.

Тогда площадь четырехугольника равна:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} BD (h_A - h_C)$

Из прямоугольных треугольников, образованных высотами и отрезками диагоналей, можно выразить высоты через угол $\alpha$:

$h_A = OA \sin\alpha$

$h_C = OC \sin\alpha$

Подставим эти выражения в формулу площади:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} BD (OA \sin\alpha - OC \sin\alpha) = \frac{1}{2} BD \sin\alpha (OA - OC)$

В рассматриваемой конфигурации невыпуклого четырехугольника точка $C$ лежит на отрезке $OA$. Следовательно, $OA - OC = AC = d_1$.

Таким образом, для невыпуклого четырехугольника мы приходим к той же формуле:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

Ответ: Формула площади $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$ верна и для невыпуклого четырехугольника.

Универсальный способ решения, применимый для любого четырёхугольника

Наиболее универсальным является векторный метод, который применим к любому (несамопересекающемуся) четырехугольнику, как выпуклому, так и невыпуклому.

Пусть вершины четырехугольника $A, B, C, D$ заданы радиус-векторами $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ относительно произвольного начала координат.

Векторы диагоналей будут: $\vec{d_1} = \vec{AC} = \vec{c} - \vec{a}$ и $\vec{d_2} = \vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$.

Площадь четырехугольника $ABCD$ можно представить как сумму ориентированных площадей треугольников $\triangle OAB, \triangle OBC, \triangle OCD, \triangle ODA$. Векторная площадь четырехугольника $\vec{S}_{ABCD}$ равна:

$\vec{S}_{ABCD} = \frac{1}{2}(\vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{d} + \vec{d}\times\vec{a})$

Модуль этого вектора равен удвоенной площади четырехугольника. Этот результат не зависит от выбора начала координат.

Рассмотрим векторное произведение векторов диагоналей:

$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = (\vec{c} - \vec{a}) \times (\vec{d} - \vec{b}) = \vec{c}\times\vec{d} - \vec{c}\times\vec{b} - \vec{a}\times\vec{d} + \vec{a}\times\vec{b}$

Используя свойство антикоммутативности векторного произведения ($\vec{u}\times\vec{v} = -\vec{v}\times\vec{u}$), перепишем выражение:

$\vec{d_1} \times \vec{d_2} = \vec{a}\times\vec{b} + \vec{b}\times\vec{c} + \vec{c}\times\vec{d} + \vec{d}\times\vec{a}$

Сравнивая полученное выражение с формулой для векторной площади, видим, что:

$2\vec{S}_{ABCD} = \vec{d_1} \times \vec{d_2}$

Скалярная площадь $S$ равна модулю векторной площади:

$S_{ABCD} = |\vec{S}_{ABCD}| = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$

По определению, модуль векторного произведения равен произведению модулей векторов на синус угла между ними:

$|\vec{d_1} \times \vec{d_2}| = |\vec{d_1}| \cdot |\vec{d_2}| \cdot \sin\alpha = d_1 d_2 \sin\alpha$

где $d_1$ и $d_2$ — длины диагоналей, а $\alpha$ — угол между ними.

Таким образом, мы получаем универсальную формулу:

$S_{ABCD} = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$

Этот вывод основан только на векторных определениях и не зависит от геометрической конфигурации вершин, доказывая справедливость формулы для любого простого четырехугольника.

Ответ: Векторный метод доказывает, что формула $S = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin\alpha$ применима для любого простого (несамопересекающегося) четырехугольника.