Номер 3, страница 366 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

9 класс. Исследовательские задачи - номер 3, страница 366.

3 Использование движений в задачах на доказательство (задачи 1290—1292, 1411—1416), [1, п. 163; 3, п. 44].

В представленном на изображении заголовке упоминается несколько задач. Ниже приведены развернутые решения для задач 1290, 1291 и анализ задачи 1292, которые решаются с использованием движений (геометрических преобразований, сохраняющих расстояния).

Задача 1290

Условие: На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты соответственно точки M и K так, что $\angle BAM = \angle MAK$. Докажите, что $AK = BM + DK$.

Решение:

Для доказательства используем метод поворота. Рассмотрим поворот $R$ плоскости вокруг центра A на угол $90^\circ$ против часовой стрелки.

1. При таком повороте, поскольку ABCD — квадрат, вершина B переходит в вершину D ($R(B) = D$), а сторона AB переходит в сторону AD.
2. Прямая BC, перпендикулярная AB, переходит в прямую DC, перпендикулярную AD.
3. Пусть точка M, лежащая на стороне BC, при этом повороте переходит в точку M'. Тогда точка M' будет лежать на прямой DC.
4. Поворот является движением, поэтому он сохраняет расстояния и углы. Следовательно, треугольник ABM переходит в равный ему треугольник ADM' ($\triangle ABM \cong \triangle ADM'$).
5. Из равенства треугольников следуют два факта:
   • Равенство сторон: $BM = DM'$ и $AM = AM'$.
   • Равенство углов: $\angle BAM = \angle DAM'$.
6. По условию задачи нам дано, что $\angle BAM = \angle MAK$.
7. Сопоставляя равенства углов из пунктов 5 и 6, получаем: $\angle DAM' = \angle MAK$.
8. Теперь докажем, что $AK = BM + DK$. Используя равенство $BM = DM'$, мы можем переписать доказываемое утверждение как $AK = DM' + DK$.
9. Рассмотрим расположение точек D, K, M' на прямой DC. Точка K лежит на отрезке CD. Точка M лежит на отрезке BC. При повороте на $90^\circ$ вокруг A, точка M переходит в M' так, что M' оказывается на продолжении стороны CD за точку D. Таким образом, точка D лежит между точками M' и K.
10. Из расположения точек M'—D—K следует, что длина отрезка M'K равна сумме длин отрезков M'D и DK, то есть $M'K = M'D + DK$.
11. Сравнивая это с выражением из пункта 8, видим, что для доказательства исходного утверждения достаточно доказать, что $AK = M'K$.
12. Равенство $AK = M'K$ означает, что треугольник AKM' является равнобедренным с основанием AM'. Чтобы доказать это, покажем, что углы при основании равны, то есть $\angle KAM' = \angle KM'A$.
13. Найдем величины этих углов. Пусть $\angle BAM = \alpha$. Тогда из условия $\angle MAK = \alpha$, и из свойства поворота $\angle DAM' = \alpha$.
    • Угол $\angle KAM'$ складывается из двух углов: $\angle KAM' = \angle KAD + \angle DAM'$. Угол $\angle KAD = \angle BAD - \angle BAK = 90^\circ - (\angle BAM + \angle MAK) = 90^\circ - 2\alpha$. Тогда $\angle KAM' = (90^\circ - 2\alpha) + \alpha = 90^\circ - \alpha$.
    • Угол $\angle KM'A$ — это угол $\angle DM'A$ в треугольнике ADM'. Поскольку $\triangle ADM' \cong \triangle ABM$, то $\angle DM'A = \angle BMA$. В прямоугольном треугольнике ABM угол $\angle BMA = 90^\circ - \angle BAM = 90^\circ - \alpha$.
14. Мы получили, что $\angle KAM' = 90^\circ - \alpha$ и $\angle KM'A = 90^\circ - \alpha$. Так как углы равны, треугольник AKM' действительно равнобедренный, и $AK = M'K$.
15. Подставляя $M'K = BM + DK$, получаем требуемое равенство $AK = BM + DK$.

Ответ: Утверждение доказано.

Задача 1291

Условие: Внутри равностороннего треугольника ABC взята точка M так, что $\angle AMC = 150^\circ$. Докажите, что из отрезков AM, BM, CM можно составить прямоугольный треугольник.

Решение:

Используем поворот вокруг одной из вершин треугольника, например, вокруг вершины C.

1. Выполним поворот плоскости на $60^\circ$ вокруг точки C. Так как треугольник ABC равносторонний, то $CA = CB$ и $\angle ACB = 60^\circ$. Выберем направление поворота так, чтобы вершина A перешла в вершину B ($R_C^{60^\circ}(A) = B$).
2. Пусть при этом повороте точка M переходит в точку M' ($R_C^{60^\circ}(M) = M'$).
3. По свойству поворота, треугольник CAM переходит в равный ему треугольник CBM' ($\triangle CAM \cong \triangle CBM'$).
4. Из конгруэнтности треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AM = BM'$ и $CM = CM'$.
5. Рассмотрим треугольник CMM'. Так как $CM = CM'$ и угол поворота $\angle MCM' = 60^\circ$, этот треугольник является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны: $MM' = CM = CM'$.
6. Теперь рассмотрим треугольник BMM'. Его стороны:
   • BM — одна из исходных длин.
   • BM' — по доказанному, $BM' = AM$.
   • MM' — по доказанному, $MM' = CM$.
   Таким образом, стороны треугольника BMM' равны по длине трем исходным отрезкам AM, BM, CM.
7. Чтобы доказать, что из отрезков AM, BM, CM можно составить прямоугольный треугольник, нам достаточно доказать, что треугольник BMM' — прямоугольный. Для этого найдем один из его углов.
8. Рассмотрим угол $\angle BM'C$. При повороте угол AMC переходит в угол BM'C, значит $\angle BM'C = \angle AMC = 150^\circ$.
9. Угол $\angle BM'C$ состоит из двух углов: $\angle BM'M$ и $\angle CM'M$. То есть $\angle BM'C = \angle BM'M + \angle CM'M$.
10. Мы знаем, что $\triangle CMM'$ — равносторонний, поэтому $\angle CM'M = 60^\circ$.
11. Подставляем известные значения: $150^\circ = \angle BM'M + 60^\circ$. Отсюда находим $\angle BM'M = 150^\circ - 60^\circ = 90^\circ$.
12. Поскольку один из углов треугольника BMM' равен $90^\circ$, этот треугольник является прямоугольным.
13. В прямоугольном треугольнике BMM' (с прямым углом при вершине M') стороны удовлетворяют теореме Пифагора: $(BM')^2 + (MM')^2 = BM^2$.
14. Заменяя стороны на равные им отрезки, получаем: $AM^2 + CM^2 = BM^2$.

Ответ: Доказано, что отрезки AM, BM, CM являются сторонами прямоугольного треугольника, так как они удовлетворяют теореме Пифагора.

Задача 1292

Условие (согласно распространенным источникам): Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC и углом при вершине B, равным 20°. На стороне AB взята точка D так, что AD = AC. Докажите, что CD = CB.

Анализ и решение:

Проанализируем данное условие с помощью метода "от противного", используя вычисление углов.

1. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC стороны $AB = BC$. Угол при вершине $\angle B = 20^\circ$.
2. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 20^\circ) / 2 = 80^\circ$.
3. На стороне AB взята точка D, для которой $AD = AC$. Это означает, что треугольник ADC также является равнобедренным.
4. В треугольнике ADC угол при вершине A, $\angle DAC$, совпадает с углом $\angle BAC$, то есть $\angle DAC = 80^\circ$.
5. Тогда углы при основании DC в треугольнике ADC равны: $\angle ADC = \angle ACD = (180^\circ - 80^\circ) / 2 = 50^\circ$.
6. Теперь мы можем найти угол $\angle BCD$: $\angle BCD = \angle BCA - \angle ACD = 80^\circ - 50^\circ = 30^\circ$.
7. Рассмотрим треугольник BCD. Мы знаем два его угла: $\angle CBD = 20^\circ$ и $\angle BCD = 30^\circ$. Третий угол $\angle BDC = 180^\circ - (20^\circ + 30^\circ) = 130^\circ$.
8. Утверждение, которое требуется доказать, — это $CD = CB$. В треугольнике BCD равенство сторон $CD=CB$ возможно только в том случае, если равны противолежащие им углы, то есть $\angle CBD = \angle CDB$.
9. Сравним эти углы: $\angle CBD = 20^\circ$, а $\angle CDB = 130^\circ$.
10. Поскольку $20^\circ \neq 130^\circ$, стороны CD и CB не могут быть равны.

Таким образом, условие задачи в приведенной формулировке содержит противоречие. Доказать утверждение $CD = CB$ невозможно, так как оно является ложным.

Примечание: Данная задача является известным примером задачи с некорректной формулировкой, часто встречающейся в онлайн-сборниках. Существуют похожие задачи с несколько измененными условиями, которые имеют решение (например, "задача Лэнгли" или другие задачи про треугольник с углами 80-80-20), но в данной постановке она нерешаема.

Ответ: Утверждение задачи неверно. На основе данных условия можно доказать, что $CD \neq CB$.