Номер 5, страница 366 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

9 класс. Исследовательские задачи - номер 5, страница 366.

5 Пропорциональные отрезки и метод масс. Использование центра масс системы точек для решения задач и доказательства теорем [2, п. 67].

Пропорциональные отрезки и метод масс

Метод масс — это эффективный способ решения геометрических задач, в основном планиметрических, связанных с нахождением отношений отрезков и доказательством конкурентности прямых (чевиан). Он основан на физическом понятии центра масс (бацентра) системы материальных точек.

Основные принципы метода:

1. Материальная точка. Каждой точке на плоскости (например, вершине треугольника) сопоставляется положительное число, называемое её массой. Точка $A$ с массой $m_A$ обозначается как $(A, m_A)$.

2. Центр масс двух точек (правило рычага). Центром масс двух точек $(A, m_A)$ и $(B, m_B)$ является такая точка $C$, расположенная на отрезке $AB$, что выполняется равенство $m_A \cdot AC = m_B \cdot BC$. Это эквивалентно отношению $\frac{AC}{BC} = \frac{m_B}{m_A}$. Масса в точке $C$ считается равной сумме масс: $m_C = m_A + m_B$.

3. Центр масс системы точек (свойство ассоциативности). Центр масс системы из трёх и более точек не зависит от порядка их группировки. Например, центр масс системы точек $(A, m_A)$, $(B, m_B)$ и $(C, m_C)$ можно найти двумя способами:
а) Сначала найти центр масс $D$ для точек $(A, m_A)$ и $(B, m_B)$, а затем найти центр масс для точек $(D, m_A+m_B)$ и $(C, m_C)$.
б) Сначала найти центр масс $E$ для точек $(B, m_B)$ и $(C, m_C)$, а затем найти центр масс для точек $(A, m_A)$ и $(E, m_B+m_C)$.
Итоговый центр масс в обоих случаях будет одной и той же точкой. Это свойство является ключом к доказательству теорем о пересечении прямых в одной точке (например, медиан, биссектрис или высот).

Использование центра масс системы точек для решения задач и доказательства теорем

Пример 1: Доказательство теоремы о медианах треугольника

Теорема: Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины.

Доказательство:
1. Рассмотрим треугольник $ABC$. Поместим в его вершины $A, B, C$ одинаковые массы, например, равные 1. То есть мы имеем систему материальных точек $(A, 1)$, $(B, 1)$, $(C, 1)$.
2. Найдем центр масс точек $(B, 1)$ и $(C, 1)$. Пусть это точка $A_1$. Согласно правилу рычага, она лежит на отрезке $BC$ и делит его в отношении $\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{1}{1} = 1$. Следовательно, $A_1$ — середина стороны $BC$, а отрезок $AA_1$ — медиана треугольника. Масса в точке $A_1$ равна $m_{A_1} = 1+1=2$.
3. Центр масс всей системы $(A, 1), (B, 1), (C, 1)$ по свойству ассоциативности является центром масс для точек $(A, 1)$ и $(A_1, 2)$. Обозначим этот центр масс буквой $O$. Точка $O$ лежит на медиане $AA_1$ и делит её в отношении $\frac{AO}{OA_1} = \frac{m_{A_1}}{m_A} = \frac{2}{1}$.
4. Аналогично, сгруппировав точки $(A, 1)$ и $(C, 1)$, мы найдем их центр масс $B_1$ — середину стороны $AC$. Центр масс всей системы $O$ должен лежать на медиане $BB_1$.
5. Сгруппировав точки $(A, 1)$ и $(B, 1)$, мы найдем их центр масс $C_1$ — середину стороны $AB$. Центр масс всей системы $O$ должен лежать на медиане $CC_1$.
6. Поскольку точка $O$ (центр масс всей системы) должна лежать на каждой из трех медиан ($AA_1, BB_1, CC_1$), это означает, что все три медианы пересекаются в этой точке. Как мы уже показали в пункте 3, эта точка делит, например, медиану $AA_1$ в отношении 2:1, считая от вершины $A$. Аналогичные рассуждения верны и для двух других медиан. Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.

Пример 2: Доказательство теоремы Чевы

Теорема: В треугольнике $ABC$ на сторонах $BC$, $AC$ и $AB$ взяты точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ соответственно. Отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ (чевианы) пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство $\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1$.

Доказательство (прямой теоремы):
1. Пусть чевианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке $O$. Мы должны подобрать такие массы $m_A, m_B, m_C$ в вершинах $A, B, C$, чтобы точка $O$ стала центром масс всей системы.
2. Так как точка $O$ лежит на отрезке $AA_1$, она является центром масс для точки $A$ и некоторой точки на отрезке $BC$. По свойству ассоциативности, эта точка на $BC$ должна быть центром масс для $B$ и $C$. Эта точка — $A_1$. Таким образом, $A_1$ — центр масс точек $(B, m_B)$ и $(C, m_C)$. Из правила рычага следует: $\frac{BA_1}{A_1C} = \frac{m_C}{m_B}$.
3. Аналогично, так как $O$ лежит на отрезке $BB_1$, точка $B_1$ должна быть центром масс для $(A, m_A)$ и $(C, m_C)$. Отсюда: $\frac{CB_1}{B_1A} = \frac{m_A}{m_C}$.
4. И так как $O$ лежит на отрезке $CC_1$, точка $C_1$ должна быть центром масс для $(A, m_A)$ и $(B, m_B)$. Отсюда: $\frac{AC_1}{C_1B} = \frac{m_B}{m_A}$.
5. Теперь перемножим полученные три отношения: $\frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{m_B}{m_A} \cdot \frac{m_C}{m_B} \cdot \frac{m_A}{m_C}$.
6. Все массы в правой части сокращаются: $\frac{m_B}{m_A} \cdot \frac{m_C}{m_B} \cdot \frac{m_A}{m_C} = 1$. Теорема доказана.

Ответ: Доказано, что если чевианы пересекаются в одной точке, то произведение отношений, в которых они делят стороны, равно единице.

Пример 3: Решение задачи на нахождение отношения отрезков

Задача: В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $K$ так, что $AK:KC = 1:3$. На стороне $BC$ взята точка $L$ так, что $BL:LC = 2:1$. Отрезки $AL$ и $BK$ пересекаются в точке $O$. Найдите отношение $BO:OK$.

Решение:
1. Подберем массы $m_A, m_B, m_C$ в вершинах $A, B, C$ так, чтобы точка $O$ стала центром масс системы.
2. Из условия $AK:KC = 1:3$ следует, что точка $K$ будет центром масс для $(A, m_A)$ и $(C, m_C)$, если $\frac{m_A}{m_C} = \frac{KC}{AK} = \frac{3}{1}$. Выберем, например, $m_A=3$ и $m_C=1$.
3. Из условия $BL:LC = 2:1$ следует, что точка $L$ будет центром масс для $(B, m_B)$ и $(C, m_C)$, если $\frac{m_B}{m_C} = \frac{LC}{BL} = \frac{1}{2}$. Так как мы уже выбрали $m_C=1$, то отсюда находим $m_B = \frac{1}{2}$.
4. Мы получили массы: $m_A=3, m_B=\frac{1}{2}, m_C=1$. Чтобы избавиться от дроби, умножим все массы на 2. Это не изменит отношений. Получаем: $m_A=6, m_B=1, m_C=2$.
5. Проверим наши массы:
- Для точек $A$ и $C$: $\frac{m_A}{m_C} = \frac{6}{2} = 3$. Требуемое отношение $KC:AK$ должно быть $\frac{3}{1}$. Это соответствует $AK:KC=1:3$. Верно.
- Для точек $B$ и $C$: $\frac{m_B}{m_C} = \frac{1}{2}$. Требуемое отношение $LC:BL$ должно быть $\frac{1}{2}$. Это соответствует $BL:LC=2:1$. Верно.
6. Точка $O$ — центр масс всей системы. Рассмотрим ее как центр масс для точек $(B, m_B)$ и $(K, m_K)$. Точка $K$ — центр масс для $A$ и $C$, поэтому ее масса $m_K = m_A + m_C = 6 + 2 = 8$.
7. Точка $O$ лежит на отрезке $BK$ и является центром масс для точек $(B, m_B=1)$ и $(K, m_K=8)$. По правилу рычага, отношение отрезков равно обратному отношению масс: $\frac{BO}{OK} = \frac{m_K}{m_B} = \frac{8}{1}$.

Ответ: $BO:OK = 8:1$.