Номер 3, страница 365 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

8 класс. Исследовательские задачи - номер 3, страница 365.

3 Окружность Эйлера (задача 918). Дополнительно исследуйте, сколько точек, указанных в задаче 918, могут быть различными.

Задача 918 посвящена окружности Эйлера (или окружности девяти точек) треугольника. Эта окружность проходит через девять замечательных точек, связанных с треугольником. Исследуем, сколько из этих девяти точек могут быть различными в зависимости от вида треугольника.

Пусть дан треугольник $ABC$. Девять точек, о которых идет речь, это:

• три середины сторон треугольника: $M_a, M_b, M_c$;
• три основания высот, опущенных из вершин на противоположные стороны: $H_a, H_b, H_c$;
• три середины отрезков, соединяющих ортоцентр $H$ с вершинами треугольника (точки Эйлера): $E_a, E_b, E_c$.

Рассмотрим различные типы треугольников, чтобы определить возможное количество различных точек среди этих девяти.

Общий случай: разносторонний непрямоугольный треугольник

В общем случае, когда треугольник является разносторонним и не имеет прямых углов, все девять точек различны. Середины сторон не совпадают ни друг с другом, ни с основаниями высот, ни с точками Эйлера. Аналогично, точки в группах $\{H_a, H_b, H_c\}$ и $\{E_a, E_b, E_c\}$ различны между собой и не совпадают с точками из других групп. Таким образом, в общем случае мы имеем 9 различных точек.
Ответ: 9.

Равнобедренный треугольник (не равносторонний и не прямоугольный)

Пусть треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $BC$, то есть $AB = AC$. В этом случае высота $AH_a$, опущенная из вершины $A$, является также медианой. Следовательно, основание высоты $H_a$ совпадает с серединой стороны $BC$, точкой $M_a$.
$H_a = M_a$.
Остальные семь точек остаются различными и не совпадают с этой парой. Например, $H_b$ не совпадает с $M_b$, так как для этого угол $C$ должен быть прямым, что противоречит условию. Таким образом, из девяти точек две совпадают, и мы получаем 8 различных точек.
Ответ: 8.

Прямоугольный разносторонний треугольник

Пусть угол $C$ треугольника $ABC$ прямой (${\angle}C = 90^\circ$). В этом случае ортоцентр $H$ совпадает с вершиной $C$.
Рассмотрим, как это влияет на наши точки:

• Основания высот из вершин $A$ и $B$ совпадают с вершиной $C$: $H_a = C$ и $H_b = C$.
• Точка Эйлера $E_c$ является серединой отрезка $CH$. Так как $H=C$, $E_c$ также совпадает с $C$. Итак, $H_a = H_b = E_c = C$.
• Точка Эйлера $E_a$ является серединой отрезка $AH = AC$. Таким образом, $E_a$ совпадает с серединой стороны $AC$, точкой $M_b$: $E_a = M_b$.
• Аналогично, точка Эйлера $E_b$ является серединой отрезка $BH = BC$, то есть $E_b = M_a$.

В результате этих совпадений у нас остаются следующие потенциально различные точки: $\{M_a, M_b, M_c, C, H_c\}$. Поскольку треугольник разносторонний, эти 5 точек различны. Таким образом, в прямоугольном разностороннем треугольнике имеется 5 различных точек.
Ответ: 5.

Равносторонний треугольник

В равностороннем треугольнике ортоцентр $H$, центроид $G$ и центр описанной окружности $O$ совпадают в одной точке (центре треугольника). Высоты являются одновременно и медианами. Это приводит к следующим совпадениям:

• Основания высот совпадают с серединами сторон: $H_a = M_a, H_b = M_b, H_c = M_c$.

Таким образом, первые две группы по три точки сливаются в одну группу из трех различных точек $\{M_a, M_b, M_c\}$.
Точки Эйлера $E_a, E_b, E_c$ являются серединами отрезков $AH, BH, CH$. Они образуют свой набор из трех различных точек, которые не совпадают с серединами сторон. В равностороннем треугольнике точки $E_a, E_b, E_c$ и $M_a, M_b, M_c$ лежат на окружности Эйлера на равном расстоянии от центра и являются вершинами двух правильных треугольников, повернутых на $60^\circ$ друг относительно друга. Итого, мы имеем две группы по три точки, то есть $3+3=6$ различных точек.
Ответ: 6.

Прямоугольный равнобедренный треугольник

Этот случай объединяет свойства прямоугольного и равнобедренного треугольников. Пусть ${\angle}C = 90^\circ$ и $AC = BC$.
Как и в любом прямоугольном треугольнике с прямым углом при $C$, имеем совпадения:
$H_a = H_b = E_c = C$
$E_a = M_b$
$E_b = M_a$
Это дает нам 5 потенциально различных точек: $\{M_a, M_b, M_c, C, H_c\}$.
Теперь используем свойство равнобедренности. Высота $CH_c$, опущенная на гипотенузу $AB$, является также и медианой. Следовательно, основание высоты $H_c$ совпадает с серединой гипотенузы $M_c$: $H_c = M_c$.
В итоге остаются только 4 различные точки: $\{M_a, M_b, M_c, C\}$.
Ответ: 4.

Итог

Таким образом, количество различных точек, указанных в задаче 918, может принимать следующие значения в зависимости от вида треугольника: 4, 5, 6, 8, 9.