Номер 3, страница 365 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

7 класс. Исследовательские задачи - номер 3, страница 365.

3 Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников [1, п. 30].

Признаки равенства прямоугольных треугольников являются частными случаями общих признаков равенства треугольников. Поскольку в любом прямоугольном треугольнике один угол всегда прямой (равен $90^\circ$), для доказательства их равенства требуется меньше условий, чем для произвольных треугольников. Существует несколько основных признаков.

1. По двум катетам

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Доказательство: Этот признак является прямым следствием первого признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). В прямоугольном треугольнике угол между катетами — это прямой угол, равный $90^\circ$. Так как эти углы в двух рассматриваемых треугольниках равны, а катеты (стороны, образующие этот угол) по условию соответственно равны, то треугольники равны.
Пусть в треугольниках $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ углы $\angle C$ и $\angle C_1$ прямые, и дано, что катеты $AC = A_1C_1$ и $BC = B_1C_1$. Тогда $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$ по двум сторонам и углу между ними.
Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если два катета одного треугольника соответственно равны двум катетам другого.

2. По катету и прилежащему острому углу

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Доказательство: Этот признак следует из второго признака равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). К катету прилегают два угла: прямой угол ($90^\circ$) и один из острых углов. По условию, катет и острый угол одного треугольника равны соответствующим элементам другого. Прямые углы также равны. Следовательно, треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Пусть в $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ углы $\angle C$ и $\angle C_1$ прямые. Если катет $AC = A_1C_1$ и прилежащий к нему острый угол $\angle A = \angle A_1$, то треугольники равны, так как сторона $AC$ и прилежащие к ней углы $\angle A$ и $\angle C$ одного треугольника соответственно равны стороне $A_1C_1$ и прилежащим к ней углам $\angle A_1$ и $\angle C_1$ другого.
Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если катет и прилежащий к нему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого.

3. По гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Доказательство: Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$. Поэтому, если один острый угол одного треугольника равен острому углу другого, то и вторые острые углы этих треугольников также равны.
Пусть в $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ углы $\angle C$ и $\angle C_1$ прямые, гипотенуза $AB = A_1B_1$ и острый угол $\angle A = \angle A_1$. Тогда второй острый угол $\angle B = 90^\circ - \angle A$, а $\angle B_1 = 90^\circ - \angle A_1$. Так как $\angle A = \angle A_1$, то и $\angle B = \angle B_1$. Таким образом, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны по стороне (гипотенузе) и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).
Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого.

4. По гипотенузе и катету

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.
Доказательство: Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$, в которых $\angle C = \angle C_1 = 90^\circ$. Пусть гипотенуза $AB = A_1B_1$ и катет $AC = A_1C_1$. Докажем равенство треугольников.
По теореме Пифагора, квадрат второго катета равен разности квадратов гипотенузы и первого катета:
$BC^2 = AB^2 - AC^2$
$B_1C_1^2 = A_1B_1^2 - A_1C_1^2$
Поскольку по условию $AB = A_1B_1$ и $AC = A_1C_1$, то правые части этих равенств равны. Следовательно, $BC^2 = B_1C_1^2$, а значит и $BC = B_1C_1$.
Теперь мы видим, что катеты $AC$ и $BC$ треугольника $\triangle ABC$ соответственно равны катетам $A_1C_1$ и $B_1C_1$ треугольника $\triangle A_1B_1C_1$. Значит, треугольники равны по двум катетам (первый рассмотренный признак).
Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если гипотенуза и катет одного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого.

5. По катету и противолежащему острому углу

Если катет и противолежащий ему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого, то такие треугольники равны.
Доказательство: Этот признак также сводится к одному из предыдущих. Пусть в $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ углы $\angle C$ и $\angle C_1$ прямые. Дано, что катет $AC = A_1C_1$ и противолежащий ему угол $\angle B = \angle B_1$.
Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^\circ$, то прилежащий к катету $AC$ угол $\angle A = 90^\circ - \angle B$. Аналогично, $\angle A_1 = 90^\circ - \angle B_1$. Поскольку $\angle B = \angle B_1$, то и $\angle A = \angle A_1$.
Таким образом, задача свелась к равенству треугольников по катету ($AC = A_1C_1$) и прилежащему к нему острому углу ($\angle A = \angle A_1$), что соответствует второму признаку.
Ответ: Два прямоугольных треугольника равны, если катет и противолежащий ему острый угол одного треугольника соответственно равны катету и противолежащему ему острому углу другого.