Номер 2, страница 365 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

7 класс. Исследовательские задачи - номер 2, страница 365.

2 Сформулируйте признаки равенства равнобедренных треугольников.

Равнобедренные треугольники являются частным случаем произвольных треугольников, поэтому для них справедливы все общие признаки равенства. Однако, используя свойства равнобедренных треугольников (равенство двух сторон, называемых боковыми, и равенство углов при основании), можно сформулировать специальные, более лаконичные признаки равенства.

Для доказательства рассмотрим два равнобедренных треугольника: $\triangle ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC$ и основанием $AC$, и $\triangle A_1B_1C_1$ с боковыми сторонами $A_1B_1=B_1C_1$ и основанием $A_1C_1$.

По боковой стороне и углу при вершине

Формулировка: Если боковая сторона и угол при вершине (угол между боковыми сторонами) одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть по условию $AB = A_1B_1$ и $\angle B = \angle B_1$. Так как треугольники равнобедренные, то $BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$. Следовательно, $BC = B_1C_1$. Мы имеем, что две стороны и угол между ними треугольника $ABC$ ($AB$, $BC$ и $\angle B$) равны двум сторонам и углу между ними треугольника $A_1B_1C_1$ ($A_1B_1$, $B_1C_1$ и $\angle B_1$). По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

По основанию и углу при основании

Формулировка: Если основание и угол при основании одного равнобедренного треугольника соответственно равны основанию и углу при основании другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть по условию $AC = A_1C_1$ и $\angle A = \angle A_1$. По свойству углов равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $\angle C = \angle A$ и $\angle C_1 = \angle A_1$. Следовательно, $\angle C = \angle C_1$. Мы имеем, что сторона и два прилежащих к ней угла треугольника $ABC$ ($AC$, $\angle A$ и $\angle C$) равны стороне и двум прилежащим к ней углам треугольника $A_1B_1C_1$ ($A_1C_1$, $\angle A_1$ и $\angle C_1$). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам) $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

По боковой стороне и основанию

Формулировка: Если боковая сторона и основание одного равнобедренного треугольника соответственно равны боковой стороне и основанию другого равнобедренного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть по условию боковая сторона $AB = A_1B_1$ и основание $AC = A_1C_1$. Так как треугольники равнобедренные, то вторая боковая сторона равна первой: $BC = AB$ и $B_1C_1 = A_1B_1$. Следовательно, $BC = B_1C_1$. Таким образом, три стороны треугольника $ABC$ ($AB$, $BC$, $AC$) соответственно равны трем сторонам треугольника $A_1B_1C_1$ ($A_1B_1$, $B_1C_1$, $A_1C_1$). По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам) $\triangle ABC \cong \triangle A_1B_1C_1$.

Существуют и другие формулировки признаков равенства равнобедренных треугольников, которые также являются следствиями общих признаков. Например, равенство треугольников можно доказать по основанию и углу при вершине или по боковой стороне и углу при основании.

Ответ: Основные признаки равенства равнобедренных треугольников: по боковой стороне и углу при вершине; по основанию и углу при основании; по боковой стороне и основанию.