Номер 1429, страница 364 - гдз по геометрии 7-9 класс учебник Атанасян, Бутузов

Авторы: Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б., Позняк Э. Г., Юдина И. И.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2023 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий
ISBN: 978-5-09-102538-5 (2023), 978-5-09-111167-5 (2024)
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 7 классе
Задачи к главе 15. Задачи повышенной трудности. Глава 15. Преобразование подобия. Подобие фигуры - номер 1429, страница 364.
№1429 (с. 364)
Условие. №1429 (с. 364)
скриншот условия

1429 Дана окружность и точка А вне этой окружности. Через точку А провести секущую к окружности так, чтобы внешняя часть секущей была в 2 раза больше внутренней.
Решение 1. №1429 (с. 364)

Решение 10. №1429 (с. 364)





Решение 11. №1429 (с. 364)
Анализ
Пусть дана окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и точка $A$ вне этой окружности. Требуется построить секущую, проходящую через точку $A$ и пересекающую окружность в точках $B$ и $C$ (где $B$ лежит между $A$ и $C$) так, чтобы выполнялось условие $AB = 2BC$.
Выразим длину всего отрезка секущей $AC$ через ее части: $AC = AB + BC$. Подставив в это равенство условие $BC = \frac{1}{2}AB$, получим: $AC = AB + \frac{1}{2}AB = \frac{3}{2}AB$.
Соотношение $AC = \frac{3}{2}AB$ означает, что точка $C$ является образом точки $B$ при гомотетии (растяжении) с центром в точке $A$ и коэффициентом $k = \frac{3}{2}$.
Поскольку точка $B$ по условию лежит на исходной окружности $\omega$, ее образ, точка $C$, должна лежать на образе этой окружности, который мы назовем $\omega'$. Окружность $\omega'$ будет гомотетична окружности $\omega$ с центром в $A$ и коэффициентом $k = \frac{3}{2}$. В то же время, по условию задачи, точка $C$ также лежит на исходной окружности $\omega$. Следовательно, искомая точка $C$ является точкой пересечения двух окружностей: исходной $\omega$ и ее образа $\omega'$. Построив точку $C$, мы можем провести через нее и точку $A$ искомую секущую.
Построение
Пусть дана окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$, и точка $A$ вне ее.
- Проведем прямую через центр окружности $O$ и точку $A$.
- Построим центр $O'$ новой окружности $\omega'$. Точка $O'$ является образом точки $O$ при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $k = \frac{3}{2}$. Это значит, что $O'$ лежит на луче $AO$ и расстояние $AO'$ равно $\frac{3}{2}AO$. Для построения можно найти середину отрезка $AO$ и отложить от точки $A$ по направлению луча $AO$ отрезок длиной в полтора $AO$.
- Радиус $R'$ окружности $\omega'$ будет равен $R' = k \cdot R = \frac{3}{2}R$.
- Построим окружность $\omega'$ с центром в точке $O'$ и радиусом $R'$.
- Найдем точки пересечения окружностей $\omega$ и $\omega'$. Обозначим одну из этих точек как $C$. Если окружности не пересекаются, задача не имеет решения. Если касаются — одно решение, если пересекаются в двух точках — два решения.
- Проведем прямую через точки $A$ и $C$. Эта прямая является искомой секущей.
Доказательство
Пусть прямая, проведенная через $A$ и $C$, пересекает окружность $\omega$ в точках $B$ и $C$. По построению, точка $C$ принадлежит обеим окружностям $\omega$ и $\omega'$. Так как $C$ лежит на окружности $\omega'$, которая является образом окружности $\omega$ при гомотетии с центром $A$ и коэффициентом $k = \frac{3}{2}$, то ее прообраз при этой гомотетии, точка $B'$, должна лежать на исходной окружности $\omega$.
По определению гомотетии, точки $A$, $B'$ и $C$ лежат на одной прямой, причем выполняется векторное равенство $\vec{AC} = \frac{3}{2}\vec{AB'}$. Прямая, проходящая через $A$ и $C$, пересекает окружность $\omega$ в двух точках. Одна из них — это $C$. Другая точка пересечения — это $B$. Так как точка $B'$ лежит на той же прямой и на той же окружности $\omega$, то она должна совпадать с точкой $B$.
Следовательно, для точек $A$, $B$, $C$ выполняется соотношение $AC = \frac{3}{2}AB$. Поскольку $B$ лежит между $A$ и $C$, то $AC = AB + BC$. Приравнивая два выражения для $AC$, получаем: $AB + BC = \frac{3}{2}AB$. Вычитая $AB$ из обеих частей равенства, имеем: $BC = \frac{1}{2}AB$, или $AB = 2BC$.
Это означает, что внешняя часть секущей ($AB$) в два раза больше ее внутренней части ($BC$), что и требовалось доказать.
Ответ: Искомая секущая - это прямая, проходящая через точку A и точку пересечения C исходной окружности $\omega(O, R)$ и окружности $\omega'(O', R')$, где $O'$ - точка на луче $AO$ такая, что $AO' = \frac{3}{2}AO$, а $R' = \frac{3}{2}R$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по геометрии за 7-9 класс, для упражнения номер 1429 расположенного на странице 364 к учебнику 2023 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по геометрии к упражнению №1429 (с. 364), авторов: Атанасян (Левон Сергеевич), Бутузов (Валентин Фёдорович), Кадомцев (Сергей Борисович), Позняк (Эдуард Генрихович), Юдина (Ирина Игоревна), ФГОС (новый, красный) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.